北大田剛清華張壽武,中國數學界兩大領袖,培養大批年輕數學家

中國如今的數學界雖然和歐美相比，還有一些差距，但是中國一直都在不斷地進步之中，如今聊起中國數學界的領袖，一般而言，公認的就是田剛與張壽武二人。田剛是北京國際數學研究中心的負責人，也是北大數學科學學院院長，而張壽武則是普林斯頓大學教授與清華大學高等研究中心教授。他們兩個人除了代表了目前中國數學界的最高水平（不包括華裔數學家，如丘成桐、陶哲軒等），也為中國數學界培養了一大批優秀的數學家。今天我們兩個人就來聊聊田剛和張壽武。

田剛：在幾何世界裡自由遨遊

田剛最為人矚目的倒不是他的學術成就，而是他與自己的老師丘成桐之間的恩恩怨怨，丘成桐在2004年直指田剛學術不端，不過這件事情海內外數學界都沒有查到什麼實據，相反後來田剛成為了阿貝爾獎的評委，阿貝爾獎是僅次於菲爾茲獎的數學領域最具含金量的獎項之一，一屆評委會只會選擇 5 位評委，田剛是目前唯一入選的一位中國數學家。阿貝爾獎、菲爾茲獎和沃爾夫獎並稱為數學界三大獎。由此也可以說明田剛的數學成就是得到了海外數學界的認可的。

作為丘成桐的學生，田剛在和丘成桐之間的爭端中倒是並沒有說過老師一句的壞話。而且丘成桐的學生裡，田剛和Richard Schoen、李駿並稱為丘成桐三大得意門生。

田剛最卓越的成就是在國際數學家大會作了 1 小時報告，要知道，國際數學家大會 4 年一辦，有 45 分鐘報告和 1 小時報告，國際數學家大會上 1 小時報告，反映了當今世界數學研究的最高成就，是數學家的一項極高榮譽。是對數學家最大的認可。

參加數學家大會的田剛

比如像抽象代數之母諾特、數學之王希爾伯特等，彭實戈和田剛是僅有的兩位能夠在國際數學家大會作1小時報告的中國籍數學家。

田剛因為主要研究領域是在幾何分析，所以非常遺憾沒有獲得菲爾茲獎。為了解釋萬有引力的本質，愛因斯坦於1916年創立廣義相對論，並試圖用一個二階非線性偏微分方程組來度量引力場，也就是有名的「卡勒—愛因斯坦度量」（Kahler—Einstein度量）。

田剛在幾何領域提出了波戈莫洛夫-田-託多羅夫定理，由此在數學界嶄露頭角。

他的博士論文還為一般Fano流形（流形是局部具有歐幾裡得空間性質的空間，在數學中用於描述幾何形體）上問題的解決做了鋪墊。

我們都知道丘成桐獲得菲爾茲獎是因為解決了卡拉比猜想，卡拉比猜想指出在封閉的空間 ，有無可能存在沒有物質分布的引力場。卡拉比猜想共有三種情況：第一陳類等於零；第一陳類小於零；第一陳類大於零。丘成桐證明了這個猜想的陳類為負和零的情況。

因此人們希望在研究Fano流形上（即第一陳示性類正定時）K(a)hler-Einstein度量的存在性問題中也有所突破

田剛是丘成桐學生的緣故，所以在卡比拉猜想上也做出過成就，田剛主攻的是卡拉比猜想第一陳類大於零，田剛在二維時完全解決了此問題，由此獲得了維布倫幾何獎。

在此之前，田剛通過定義阿爾法不變量。通過該不變量可以判別凱勒愛因斯坦度量的存在性。1989年，田剛利用他先前引進的不變量以及他發展的部分連續模估計這一新工具，徹底解決了復曲面上的卡拉比問題（二維時）。這是非常重要的突破。高維的情形則更加困難。田剛首先給出例子說明，即使沒有非零全純向量場也有可能不存在K(a)hler-Einstein度量。1996年，利用他與丁偉嶽教授合作定義的全純不變量，田剛引進了K穩定的概念，證明流形上存在K(a)hler-Einstein度量的Fano流形必須是K穩定的。之後K穩定的概念得到進一步發展並推廣到任意極化的K(a)hler流形，成為代數幾何重要的概念之一。

簡單來說，田剛證明了KE度量的存在性要求反典範線叢K*是K穩定的，從而證否了卡拉比猜想 Ⅲ。

後來，田剛和菲爾茲獎得主唐納森提出了關於K-穩定Fano流形上Khler-Einstein度量存在性問題，也就是著名的丘-田-唐納森猜想，也叫 K 穩定性猜想。

2012年10月，田剛率先宣布解決了K-穩定Fano流形上K(a)hler-Einstein度量的存在性問題並給出了證明概要。解決這個長期未決的重大問題的關鍵技術途徑是在錐K(a)hler-Einstein空間情形建立田剛早先猜測的部分連續模估計，而建立這一關鍵估計的主要方法是推廣Cheeger-Colding-Tian有關K(a)hler-Einstein流形的緊化理論。田剛的證明綜合應用了眾多理論，涉及到很多數學分支，比如微分幾何、代數幾何、偏微分方程、多複分析、度量幾何等，特別是其證明將這些領域聯繫在一起，將完善並推動這些學科的發展。也就是說田剛證明了他提出來的K穩定性猜想。論文已在世界頂尖數學期刊Communications on Pure and Applied Mathematics（CPAM）上發表。大家可以看看。

可以說這些年田剛和唐納森一直主導著卡勒幾何的發展，而田剛另外一個最重要的成就就是完善了佩雷爾曼的龐加萊猜想。

當時佩雷爾曼發表完了關於龐加萊猜想的論文之後，他給十幾位數學家發了郵件，請他們對自己的論證過程給予評價，由此震驚了整個數學界。收到郵件的數學家就包括了田剛。

2002年11月12日，當時在麻省理工學院數學系任教授的田剛在信箱中看到一封顯示發件人為「格利高裡·佩雷爾曼」（Grigori Perelman）的郵件。

標題:新的預印本親愛的田，可否請你關注我發表在arXiv數學網站上的論文，DG 0211159。摘要:我們提出了一個Ricci流的單調式，在所有的維度中成立且無需曲率假設……我們還驗證了與理察·漢密爾頓關於瑟斯頓封閉三維流形幾何化猜想證明的綱領相關的一些假設，使用先前關於局部曲率下界的塌陷結果，給出了對這一猜想的證明概要。格裡沙·佩雷爾曼

田剛收到信之後，用了三天的時間仔細閱讀這篇論文，因為已經公開的3篇論文，因為佩雷爾曼只提供了證明的草稿，所以在論證結構上跳躍性極強，缺少詳盡的技術細節，且其證明內容並不止限於解決龐加萊猜想。為了儘快澄清這些證明，田剛等人邀請佩雷爾曼前往美國舉辦研討會，親自向數學界講解他的工作。

標題:回復:新的預印本親愛的格裡沙，我正在閱讀你的論文。很有意思。你是否願意訪問MIT並就這一工作做幾個演講？

2003年4月，佩雷爾曼接受了田剛的邀請，來到了麻省理工學院，開始了他的系列巡迴講演。與此同時，田剛、克萊納和摩根等四位深研論文，確認了佩雷爾曼證明的正確性。

2004年，佩雷爾曼結束了他的巡迴講演，而接下來就是關於佩雷爾曼猜想的完善工作了，這個工作也非常的重要，「高手或許一步可以看到7步後的變化，棋藝稍遜的人或許只能看到2步，剩下的5步，就是gaps。」普林斯頓大學數學系的一位教授說，「只有完完整整把每一步的走法寫下來，才能算是一個完整的證明。」。

2004年9月，田剛和哥倫比亞大學的拓撲學家約翰·摩根決定合作，在田剛之前給學生開討論班研讀佩雷爾曼論文時留下的筆記的基礎上，撰寫一部關於龐加萊猜想的書。這部書稿，得到了克雷數學研究所（也就是千禧年七大數學難題的發起者）的著述專項資助

正如前面所說的，因為佩雷爾曼只提供了證明的草稿，且其證明內容並不止限於解決龐加萊猜想，在這兩年的時間裡田剛等人為了讓論文更易閱讀，逐步填補豐富了佩雷爾曼證明中的細節部分，終於將龐加萊猜想徹底證明。

2006年5月，摩根和田剛合作完成的書稿提交給了克雷數學研究所，並在7月25日把這本473頁的書放到了arXiv網站上。而此時，國際數學家大會已確定，將由摩根在8月24日作一個關於龐加萊猜想的公眾報告。

可以說田剛在佩雷爾曼論文中做出了卓越的貢獻，他極力邀請佩雷爾曼進行講學，傳播數學新思想，大力宣傳佩雷爾曼取得的成就。

當時，一共有 3 組世界頂尖的數學家團隊參與了對其證明的完善工作。其中中國數學界包括田剛、朱熹平、曹懷東。

而丘成桐、曹懷東和朱熹平三人由此鬧出了一場大笑話， 丘成桐當時對媒體宣布,「曹懷東 、 朱熹平已經完成了龐加萊猜想的封頂之作。

而就目前數學界來說，佩雷爾曼論文的完善工作中，田剛等人的更為仔細完善，而曹懷東等人的過於執著於幾何化猜想。（在卡拉比猜想Ⅲ上，丘成桐也執著於幾何化猜想），不管怎麼樣說，佩雷爾曼事件，是丘成桐一輩子最大的汙點。

丘成桐

丘成桐和田剛矛盾之間的激化，很多人都認為有這樣的因素存在。

作為北大數院的田剛，也為中國數學界培養了許多的年輕數學家，在整個數學界大放光彩，要知道中國數學的中心就在北大。

田剛和學生

張壽武：國際數論界頂尖級高手

不知道是不是奇妙的緣分，21世紀之交的這幾年，大概是1999年2004年左右，北大數學系真的是人才輩出，現在國際數學界上的具有成就的年輕中國數學家相當部分都是在那個時間段進入北大學習的。

如張偉，在中國人民大會堂獲得了晨興數學獎金獎，這個獎項被譽為華人「菲爾茲獎」，是華人數學領域的最高榮譽，在讀博士的時候，張偉就解決了庫達拉猜想中模性的問題；還有袁新意，全球知名的年輕一代數學家；北大畢業的朱歆文則主要致力於幾何表示理論的研究，尤其幾何朗蘭茲綱領方面。他研究了環路群的旗流形的幾何和拓撲性質，並把幾何朗蘭茲綱領理論應用到了算術幾何領域，做出了重要成果；還有劉一峰，斬獲美國斯隆研究獎，他的主要研究方向為自守形式、數論與代數幾何。以及大家非常熟悉的許晨陽，主要研究成果包括一般型對數典範偶的有界性理論，證明了對數典範閾值的上升鏈猜想，極大推動了正特徵三維極小模型綱領，在對數典範奇點的極小模型綱領中做出突破，證明了田剛和Donaldson關於K-穩定性定義的等價性，解決了《幾何不變式論》前言裡關於典範極化簇漸進周穩定緊化不存在的問題，並系統研究和發展了對偶復形理論。

劉若川、惲之瑋、袁新意、宋詩暢、肖梁、許晨陽（左起）都是年輕一代的數學家

除此之外，還有惲之瑋、吳忠濤、劉志鵬等，這些都是北京大學培養出來的數學家，是全球數學界冉冉上升的新星，在數學領域做出過豐碩的成果。

而這些從北大出來的青年數學家很大部分都是在普林斯頓擔任教授的張壽武手裡深造的。清華北大的基因在這些年輕數學家身上完美融合。

張壽武的人生更為勵志，他出身特別貧窮，他經常要在家帶妹妹和弟弟，還要去放鴨子，所以基本上沒怎麼去過上學，但是在期末考試的時候，哥哥臨時抱佛腳教了一下他。他結果考的還不錯。

張壽武就覺得自己的智商還可以呀，就經常自己自學，想做一個數學家。初中時候，在田裡邊放鴨子邊自學完了初中幾何和代數，後來又看完了高中數學。雖然初中三年，像模像樣上學也就才一年，但是張壽武居然奇蹟般考上了最好的中學—— 和縣一中。

高中時候他開始自學高等數學，後來又用微積分做試卷，老師實在看不懂他寫的過程，但是答案又是對的，就說你可以不用來上數學課了。因為高考粗心大意，反而數學考砸了，張壽武就想自學考數學研究生。

後來，在舅舅的要求下讀了中山大學化學系，但是一門心思想學數學的張壽武和數學系老師表達了自己的訴求，最後數學系老師同意了他的轉系要求。

在數學系，張壽武基本上也是自學，他在大學就開始教自己的老師、對自己的老師抽象代數了。

張壽武曾提前參加了79級（他是80級）的常微分方程 考試，他得了75分，便要求學校再給他一次考試機會，準備參加同年級同學的考試。為了讓班上的同學都能考出好分數，他將上次的考題和答案油印出來讓大家學習，沒想到兩次考卷居然是一樣的，結果，班上的同學都考了90多分，老師調查清楚情況後非常憤怒，將他的考卷扣到59分，雖然補考時他得了100分，但不及格的記錄還在那裡，這讓他十分緊張，考慮到會影響以後的分配，他決定提前考研究生。於是，他提前一年將所有的課程都學完了。

後來，他得到了美國哥倫比亞大學數學系的哥德費爾德的賞識，去了哥倫比亞大學深造，

在數學屆，「波戈莫洛夫猜想」被認為是世界性的難題，（是不是很熟悉，田剛的成就裡就有提出了波戈莫洛夫-田-託多羅夫定理）而張壽武在34歲年就證明了這一猜想。並且在35歲推廣了格羅斯——乍基亞公式，稱為「格羅斯－乍基亞－張公式」。

除此之外，張壽武關於志村簇上復乘點的高度。建立了瓦爾斯普爾熱（Waldspurger）公式在算術代數幾何下的一個模擬，瓦爾斯普爾熱公式是給出積分周期和L函數特殊值之間的關係的一個重要公式。

1998 年，張壽武更是獲得了首屆晨新數學獎金獎，晨新數學獎是華人數學界最權威的獎項，素有華人菲爾茲之稱。

和數學成就相比，張壽武更是為中國培育了一大批的年輕數學家，如張偉、、田野、劉一峰、袁新意等。

張壽武認為： 「我這一輩子，有那麼多人幫助過我，我要回饋給國家和社會。中國那麼大，想學數學的人那麼多。我想給那些和我有同樣經歷的人一個機會。」

張壽武和學生

在張壽武看來，最好的學生是不應該向老師要題目的。他們不僅是解題高手，甚至是出題高手。那麼，老師還有什麼可以教給他們？

「成功我是沒辦法告訴他的，我只能告訴他什麼叫失敗。我把心裡想的、經歷過的失敗都告訴他，讓他不用再經歷一次失敗。」

「我本就是鄉下人，各種水平和層次的人我都接觸過。不管跟什麼人聊天，我都能很快理解對方的想法。而且能順著別人的想法去轉，絕不會把自己的思想強加到別人身上。」

37歲的張偉已經是麻省理工學院（MIT）數學系教授，33歲的劉一峰則是耶魯大學的副教授。他們的名字被在拉馬努金獎、華人數學最高獎「晨興數學獎」等榮譽襯託，無疑是國際數學界的耀眼新星。

當時張壽武講解了庫達拉猜想，回到哥倫比亞之後，他突然想到，能不能嘗試庫達拉猜想中模性的問題，因此就對張偉說：「你就做做這個問題吧！」，結果張偉真的解決了這個問題，由此聲名大噪。

完成了庫達拉猜想問題後，張壽武對他說：「這可以當你的博士論文了，如果你現在想畢業，現在就可以畢業；不想畢業嘛，咱們再在一起做東西。」

所以後來，張壽武又讓他的學生來做自守形式下相對跡公式的基本引理。在2008年晨興的一個暑期討論班上，田野作了第一個關於相對跡公式的報告。

張壽武認為：「所以說，張偉的工作是繼承和發揚了哥大在自守形式方面的一個傳統。我的貢獻是告訴他們往哪個地方走」。

張偉非常聰明，他以光一樣的速度閱讀了所有的相關論文，以光一樣的速度將問題弄清楚了，並證明了其中兩個基本引理。然而，與張壽武一樣，他真正想做的也不是自守形式下的相對跡公式下的基本引理，他的興趣在算術相對跡公式下的基本引理，他和袁新意將自守形式下相對跡公式的基本引理問題告訴了同學惲之瑋。與此同時，他成功地將賈戈爾—阮麗斯的一些技術移植到算術相交理論中，並在志村簇上算術相交理論的知名猜想中取得決定性進展。

張壽武對這批學生寄予了非常深厚的希望： 他們還年輕，人生的路才剛剛開始，還沒有到大數學家的份上，但他們有可能成為大數學家。我想，他們的實力和潛力已經顯示出來了，他們有資本在美國的長春藤大學獲得教授職位，但拿菲爾茨獎就難說了。我對他們的期望超過了對陶哲軒的期望，陶哲軒拿了菲爾茨獎，現在是加州大學洛杉磯分校正教授。毫無疑問，陶哲軒非常聰明，他做了很多問題。我個人認為，張偉他們做的問題對未來的影響會更深刻一些。何況他們有一群人在共同努力。張偉、袁新意、惲之瑋、朱歆文等，他們可能不像陶哲軒那麼聰明，不是天才，但他們可以對數學作出劃時代的貢獻。他們合在一起，應該是中國數學的未來，他們肯定會做得很好。」

作為中國數學界的領袖，幾何田剛數論張壽武，他們兩個如今更像是一盞明燈，為更多年輕的數學家照亮方向，帶領中國數學走向世界。