一種FFT插值正弦波快速頻率估計算法

對被噪聲汙染的正弦波信號進行頻率估計是信號參數估計中的經典問題，目前國內外已提出不少方法。文獻給出了在高斯白噪聲中對正弦波信號頻率進行最大似然估計算法，該算法能夠達到卡拉美-羅限(CRB)，但計算量大，實現困難。FFT頻率估計方法具有速度快、便於實時處理的特性而得到了廣泛應用。但FFT頻率估計方法得到的是離散頻率值，當信號頻率與FFT離散頻率不重合時，由於FFT的「柵欄」效應，信號的實際頻率應位於兩條譜線之間。顯然僅僅利用FFT幅度最大值估計信號頻率難以滿足精度要求，因此各種插值算法應運而生。文獻給出了Rife算法，在對輸入信號進行一次FFT運算後，利用最大譜線及其相鄰的一根次大譜線進行插值來確定真實頻率位置。當信號的真實頻率處於兩相鄰量化頻率之間的中心區域時，Rife算法精度很高，但是在FFT量化頻率附近的誤差卻較大。文獻提出了一種修正Rife算法，通過對信號進行頻移，使新信號的頻率位於兩個相鄰量化頻率點的中心區域，然後再利用Rife算法進行頻率估計。文獻提出了基於傅立葉係數插值迭代的頻率估計方法，該方法能夠有效提高精度，但需要多次串行迭代，不利於發揮FPGA並行處理的優勢。本文分析了以上3種算法的特點，並以之為基礎結合FPGA的並行處理優勢，提出了一種利用信號FFT插值係數的幅度和相位信息來構造頻率修正項的新算法。

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1 基於FFT插值的正弦波頻率估計法

1.1 算法原理

單一頻率正弦信號表示為：

式中：A，f0，θ分別為正弦信號的幅度、頻率和初相;fs為採樣頻率。目前基於FFT的正弦信號頻率估計分為2個過程來實現：粗測頻和精測頻。粗測頻通過直接觀察FFT幅譜最大值點m來完成，受觀測時長T的限制，誤差範圍為±l/(2T)。假設為信號頻率的真實值，δ為信號頻率與其FFT幅度最大處對應頻率的相對偏差，m，與δ的關係如式(2)所示：

考慮到FPGA並行計算的特點，利用流水線結構同時計算多個Xm+p，Xm+p-1值，將串行迭代變為並行迭代，其運算步驟歸納如下：

本文提出的算法分為粗測頻(步驟1)和精測頻(步驟2，3)，頻率估計值為粗測結果與精測結果之和。

1.2 算法分析

本文算法與文獻提到的算法主要區別在於步驟3。算法將正弦波信號所在頻段[m-1，m+1]細化為5個子頻段，如圖1所示，並根據δ1值的大小判斷信號譜線位置，使信號的頻率位於某子頻段的中心區域再進行頻率估計。

該算法也可認為是對Rife算法的一種修正，通過適當增加運算量提高了估計精度。當p=O及p=1時，該算法退化為Rife算法。

與MRife算法相比：MRife算法是通過對原始信號進行平移，然後對平移後的信號做FFT，重新用Rife算法計算δ。從式(3)可以發現「信號平移+FFT」與Xm+p時域運算是一致的，所不同的是，由於計算單個Xm+p只需N次複數乘法和N次複數加法，運算量比「信號平移+FFT」小，因此本文算法可同時計算多個Xm+p，Xm+p-1，以提高估計精度。

2 算法硬體實現

本文算法充分利用了FPGA並行計算的優點，在FPGA實現時採用流水線模式，經過固有時間後，每個時鐘周期可以輸出一個指定操作的結果，提高了算法的運算速度。

從前面的分析可知，整個測頻算法主要包括粗測頻和精測頻2個部分：首先對信號作FFT運算並進行譜峰搜索得到峰值位置;再通過插值FFT運算得到頻率偏差δ1，δ2;粗測頻部分可以直接調用相關FPGA的FFT庫函數完成。從式(3)可知精測頻部分需要大量計算三角函數，本文採用查表法來實現。整個算法流程如圖2所示。

3 仿真分析

信噪比定義為：，σ為噪聲均方誤差。對正弦波信號，在相位、幅度和頻率3個參數均是未知的情況下，頻率估計的方差下限為：

式中N為樣本數。在仿真中設fs=167 MHz，N=512，因此兩條譜線間的頻率差為△f=fs/N。現取fi=45.5△f+(i-1)△f/20(i=l，2，…，21)的正弦波，即對應FFT後峰值位置與信號真實峰值偏差δ為[-0.5，0.5]。對每個頻率fi的取值分別作l 000次Monte Carlo試驗，計算δl，δ2的均方根誤差(RMSE)，定義比率R=RMSE/CRB，仿真結果如圖3、圖4所示。RSN取-20 dB～0 dB，步長為0.5 dB，分別做1 000次Monte Carlo試驗，計算新算法的歸一化頻率估計均方誤差，仿真結果如圖5所示。

仿真結果表明δ2不隨被估計信號的頻率分布而產生波動;當RSN>-14 dB時，新算法頻率估計值的方差在整個頻段都接近卡拉美-羅限，具有穩定的性能。

4 結論

本文在分析Rife，MRife和傅立葉係數插值迭代3種算法的基礎上，將串行迭代變為並行迭代，由此得出了一種快速頻率估計算法，並分析了新算法與前3種算法的異同。計算機仿真結果證實新算法能夠快速、高精度估計單頻信號的頻率，便於工程實現，適合應用在雷達、電子對抗等對處理實時性要求非常高的領域。