各位關注數學世界的朋友，大家好！數學世界將繼續為大家分享初中數學中有關圓的綜合題，筆者希望通過對習題的分析與講解，能夠為廣大初中生學習相關數學知識提供一些幫助！
長期關注我們的朋友都知道，數學世界一直都是精心挑選有代表性的數學題分享給大家，希望由此激發學生們對數學這門課程的學習興趣，並能給廣大學生學習數學這門課程提供助力！
今天，數學世界分享一道關於圓與扇形面積的計算以及三角形面積計算的解答題，涉及了圓的切線的判定，等腰三角形的性質，中位線的性質等知識。下面，數學世界就與大家一起來看題目吧！
例題：（初中數學綜合題）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O分別交線段BC、AC於點D、E，過點D作DF⊥AC，垂足為F，線段FD、AB的延長線相交於點G．
（1）求證：DF是⊙O的切線；
（2）若CF=1，∠ACB=60°，求圖中陰影部分的面積．
知識回顧
切線的判定：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。
三角形中位線定義：連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線。
三角形中位線性質：三角形中位線平行於三角形的第三邊，並且等於第三邊的一半。
在直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半。
分析與解答：（請大家注意，想要正確解答一道數學題，必須先將大體思路弄清楚。以下過程可以部分調整，並且可能還有其他不同的解題方法）（1）連接AD、OD，由AB為直徑可得出點D為BC的中點，進一步得出OD為△BAC的中位線，再根據中位線的性質即可推出OD⊥DF，從而證明結論；（2）根據已知條件得到△ABC為等邊三角形，再利用「分割圖形求面積法」即可得到陰影部分的面積．
（1）（證切線，連半徑。連結OD，只需證得OD⊥DF，即證得DF是⊙O的切線）
證明：如圖，連接AD、OD，
∵AB為直徑，
∴∠ADB=90°，（直徑所對的圓周角是90°）
∴AD⊥BC，
∵AC=AB，
∴點D為BC的中點．（等腰三角形「三線合一」）
∵點O為AB的中點，
∴OD為△BAC的中位線，
∴OD∥AC，（中位線的性質）
∵DF⊥AC，
∴OD⊥DF，（平行線的性質）
∴DF是⊙O的切線．（經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線）
（2）解：在Rt△CFD中，CF=1，∠C=60°，
∴CD=2CF=2，（在直角三角形中，30°角所對的直角邊等於斜邊的一半）
∵AC=AB，∠C=60°，
∴△ABC為等邊三角形，
∴AB=BC=2BD=4．
∵OD∥AC，
∴∠DOG=∠BAC=60°，（兩直線平行，同位角相等）
∴DG=OD·tan∠DOG=2√3，（三角函數的定義）
∴S陰影=S△ODG-S扇形OBD
=1/2·DG·OD-60/360·πOB^2
=2√3-2π/3．
（完畢）
這道題是關於圓的綜合題，考查了切線的判定、等腰三角形的性質、扇形面積的計算以及三角形面積的計算，解題的關鍵是利用分割圖形求面積。溫馨提示：朋友們如果有不明白之處或者有更好的解題方法，歡迎大家留言討論。