微分形式學習筆記（一）主要從多元函數的微積分引入，從變化速率（微分）和加權求和（積分）開始，探討曲線積分和曲面積分的參數化形式，特別是強調了拉伸係數的概念，從而對不可展平曲面進行積分。
微分形式學習筆記（二）回顧了參數化與曲線和曲面積分的關係，通過局部的微分同胚定義流形。該定義的引入主要是為了保證可參數化與可積分之間的充要關係。需要強調的是，流形的定義要比可參數化的條件強，它的核心要求是如果兩個參數化之間有交集，則要求其交集的部分的一致性和無窮階光滑。舉例來說，一張紙如果將一個角折起90°，其面積並不改變，但是由於摺痕的兩邊需要使用不同的參數化，而在折線處不光滑，因此就不是一個流形。N維流形要求局部處處微分同胚於同維的Rn。
微分形式學習筆記（三）引入了流形上的函數（標量場）和流形上的坐標網，這裡的坐標網是通過流形的嵌入空間進行參數得到的，對於一個二維的球面，我們利用嵌入三維空間的坐標（x,y,z）的參數化來構建坐標網，並根據這個坐標網來探討流形上的（切）方向。事實上，如果不考慮流形的嵌入空間，那麼流形上的方向就只有切方向，這是流形內蘊的，與其嵌入幾維空間無關。
微分形式學習筆記（四）探討了最重要的承上啟下的內容。首先，我們明確了流形的維度是指流形上可以獨立移動的方向，而p點處的方向顯然可以對獨立移動的方向進行求導。由於線性化與求導的密切聯繫，通過引入泛函和線性泛函的概念，我們證明了流形上p點處符合萊氏律的線性泛函L恰好可以反映其切方向！滿足萊氏律可以保證這個這個方向與p點對應，從而我們可以得出流形上的方向可以用泛函來表示而不必求導，其主要目的是為了繞過流形的嵌入空間。
微分形式學習筆記（五）進一步澄清了泛函的概念，儘管泛函的映射結果是一個實數，但是泛函本身是一個向量，考慮p點處的所有切向量組成的空間，我們定義了切空間和向量叢。切空間是指p點處的所有切向量。如果考慮嵌入空間，則顯然p點處的所有向量並不僅是切向量，也會有法向量和其他向量，所有這些向量的組合構成一個向量空間，在不指定p點的情況下，向量叢指流形上所有點處向量空間的集合。
微分形式學習筆記（六）主要定義了流形間切向量的推進，如果光滑映射F溝通了流形M和流形N，則定義一個滿足萊氏律的泛函F*（L）(g)=L(g•F)表示從流形M上的切方向到流形N上的切方向的推進。注意這裡的邏輯關係，對於流形M上的點p，F將其映射為流形N上的點F(p)，然後流形N上的某個函數g作用於F(p)，連接了流形N上的函數g與流形M上的p點的關係，從而可以理解為流形M上的一個複合函數，泛函L又將這個複合函數映成實數，這樣F*(L)(g)=L(g•F)就對應流形N上一個滿足萊氏律的泛函，從而是流形N上的一個切向量。
微分形式學習筆記（七）進一步明確的推進的性質，強調了推進是一個線性同態映射，同時在微分同胚的情況下，由於加入了一一對應的性質，流形的微分同胚就對應了切向量推進的線性同構。
微分形式學習筆記（八）首先討論了流形與其微分同胚的Rn的向量間的映射關係，同時引入雅可比矩陣描述歐式空間向量間的推進，之所以可以這麼做，是因為歐式空間是自然坐標，有其自然基。這樣，任意歐式空間中的向量均可由一組係數和自然基來表示。
利用函數的複合，將這種標準的雅可比矩陣進行變形即可表示流形M與流形N之間切向量和切空間的推進。其數學含義在於用m*n維矩陣左乘一個m行的係數，得到一個n列的係數，推進反映了兩個流形向量間的映射關係，會自然地把基也包括進來，但是推進的矩陣表示並不涉及流形之間自然基的對應關係。流形的基由各自微分同胚的歐式空間誘導，而其係數的映射關係由矩陣反映。簡言之，基是基，係數是係數。由於在微分同胚的情形下雅可比矩陣表現為方陣，因此可以用於流形M的換元映射。
微分形式學習筆記（九）介紹了流形上的向量場的概念，根據歐式空間的自然基可以得到與其一一對應的M維流形上的標準基，通過這個標準基就可以分解任意p點處的任意切向量，在此基礎上探討了F-相關的定義，並明確微分同胚的流形之間必然存在F-相關的向量場。