流形中的向量（或者矢量）和向量場
1） 流形中的向量是線性代數中矢量空間的推廣，中間需要歐式空間過渡下，否則很抽象。所以一定要深刻理解矢量空間；
2） 向量空間沒有點的概念，但是歐式空間中，點是最基本的概念。首先建立（歐式空間中的）點和向量空間的聯繫；
3） 人們發現歐式空間中的任意一個點為基礎，各種方向和長度的直線段，滿足矢量空間的條件（俗稱線性8條件）；
4） 我們反過來思考，歐式空間中的向量是先有的，矢量空間是抽象後的概念。正好反過來，很好玩；
5） 既然歐式空間中的任意一個點為基礎，各種方向和長度的直線段是一個無限元素的集合，這個集合就是一個矢量空間。那麼很自然，流形上的點是否可以這麼做？
6） 不可以，因為流形上的點，相對來說，還好確定，只是坐標分量比較多而已，但是方向無法確定啊？不像歐式空間，方向可以用直線段上的一點的坐標來描述。而流形則不同，你再找另外一個點，沒意義了，因為流形是連續變化的空間；
7） 那如何定義方向呢？
1） 那只能重新定義方向了。設v是R3中任一點p的一個箭頭，則對R3上的人一光滑函數就可以沿著v求方向導數，這導函數在p點的值是一個實數。可見，v就是一個把f變為實數的映射；
8） 所以流行中的向量，必定是方向導數，為何如此，是因為流形的方向，必須用更本質的方向的定義；
9） 萬幸的是，求導也是線性的，並無違反「線性8條件」。指的注意的是，求導還滿足萊布尼茲律，這個性質很重要；
10） 好了，上面有結論，向量就是一個把函數f變為實數的映射。那麼張量是否如此呢？
11） 之所以提出這樣的問題，是因為我們知道，一維張量就是向量。
12） 張量當然也可以！而且更有意思！張量也是函數變為實數的映射！用廣義相對論的黎曼曲率張量做例子是最合適不過了！
13） 廣義相對論表明，和坐標無關，和參數也無關。意思就是說，指定了一個點（四維時空單元），那麼黎曼所有函數的值都確定了，好吧。愛因斯坦就想，左邊的時空變換的實數值，和右邊能量對應的實數值，必然有一定的正比關係！這個比例常數，是可以使用近似下的牛頓引力公式得出來的；
14） 天啊。定義域不重要，值域也不重要。就是映射相等便可。還有別的張量方程麼？
15） 愛因斯坦場方程是廣義相對論的核心，點（四維時空單元）不重要，但點對應的函數芽是重要，正如上述所說，向量就是方向導數，函數芽是餘切，那麼是一階，函數芽空間對偶的空間需要求二階（因為曲率是二階求導）是三階，所以黎曼曲率張量的階是1+1+2=4階。
16） 很顯然，f隨便不同的物理量是不同的，那麼各種f的方向導數就是對應的向量場，比如引力函數為f3，那麼f3的方向導數就是對應的引力場。
請問上述理解對麼？還有哪些張量方程呢？