A為n階矩陣，若數λ和n維非0列向量x滿足Ax=λx，那麼數λ稱為A的特徵值，x稱為A的對應於特徵值λ的特徵向量。
它的物理意義是：
一個矩陣A乘以一個向量x，
就相當於做了一個線性變換λx。
方向仍然保持不變，
只是拉伸或者壓縮一定倍數λ。
特徵向量和特徵值的幾何本質，其實就是：
空間矢量的旋轉和縮放。
線性變換 A 對於特徵空間只起到「擴張(或者壓縮)」的作用（擴張後還是同樣的特徵空間）
求解特徵向量計算特徵多項式→求解特徵值→求解齊次線性方程組，得出特徵向量。沒錯，就是這個再普通不過的基礎數學求解公式。這也是教科書裡面求特徵值的方法！然而，三位物理學家PeterDenton、StephenParke、張西寧發現了一個全新的方法：
知道特徵值，只需要列一個簡單的方程式，特徵向量便可迎刃而解。大神和三位物理學家一起發表了論文，闡述了這個公式的證明過程！△三位物理學家分別是：張西寧、Peter Denton和Stephen Parke。
我完全沒想過，子矩陣的特徵值編碼了原矩陣特徵向量的隱藏信息。這麼短、這麼簡單的東西，早就應該出現在教科書裡了！！！
特徵向量和特徵值的幾何本質，其實就是空間矢量的旋轉和縮放。而中微子的三個味（電子，μ子，τ子），不就相當於空間中的三個向量之間的變換嗎？中微子振蕩是一種量子力學現象。實驗發現，電子中微子、μ子中微子和τ子中微子這三種中微子之間是可以相互轉化的，而這就是中微子振蕩現象。△圖源：Quantamagazine三個物理學家意識到，特徵向量和特徵值之間，可能存在更普遍的規律。子矩陣和原始矩陣的特徵值組合在一起，就可以計算原始矩陣的特徵向量。簡而言之，已知特徵值，一個方程式就可以求得特徵向量。△圖源：Quantamagazine
這個新公式有多牛？
新公式的非凡之處是，在任何情況下，你不需要知道矩陣中的任何元素，就可以計算出你想要的任何東西。
別被上面的話嚇著了，其實很簡單，我們用一個naive的二階對稱矩陣試一試就知道：
陶哲軒和Peter Denton、Stephen Parke、張西寧三位物理學家一起發表了論文，論文給出了兩種解法，一種給出一個Cauchy-Binet類型的行列式公式作為引理，構造式證明方法比較巧妙；ps：小編還在啃論文，希望能給出一個通俗的過程解釋。
在現實世界中，無論是在數學、物理學還是工程學中，許許多多的問題都涉及到特徵向量和特徵值的計算。圖像處理中的PCA方法，選取特徵值最高的k個特徵向量來表示一個矩陣，從而達到降維分析+特徵顯示的方法，還有圖像壓縮的K-L變換。再比如很多人臉識別，數據流模式挖掘分析等方面。在力學中，慣量的特徵向量定義了剛體的主軸。慣量是決定剛體圍繞質心轉動的關鍵數據。在譜系圖論中，一個圖的特徵值定義為圖的鄰接矩陣A的特徵值，或者（更多的是）圖的拉普拉斯算子矩陣， Google的PageRank算法就是一個例子。在量子力學中，特別是在原子物理和分子物理中，在Hartree-Fock理論下，原子軌道和分子軌道可以定義為Fock算子的特徵向量。相應的特徵值通過Koopmans定理可以解釋為電離勢能。在這個情況下，特徵向量一詞可以用於更廣泛的意義，因為Fock算子顯式地依賴於軌道和它們的特徵值。在神經網絡中，深度神經網絡本身可以看成是一種對特徵向量空間的轉換過程。因此是否可以在神經網絡每次作轉換的時候，根據特徵值（奇異值）大小來表示每一維特徵的重要性大小，從而調整相應權重的大小，這樣是否會使得訓練過程更加高效。https://arxiv.org/abs/1908.03795
https://arxiv.org/abs/1907.02534