關注 哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文
不得不說最近關於「陶哲軒的線性代數新公式」成為數學圈內最熱的話題，從開始的驚詫到後面八卦娛樂，讓不少人充滿了歡樂。我們哆嗒數學網也發了文章，說明論文中的所謂的「新公式」並非首發。在這篇文章之前，這個公式已經不止一次出現在其他論文或者教材中了。其中目前發現最早有記載這個公式的論文在四十多年前的1968年。
這裡我們希望每一個關心這件事情的人不要嘲笑當局者的任何一方，畢竟數學學科樹大根深，誰也不知道從哪個犄角旮旯裡出現了一個大家都不熟知的「沉睡」了許久的簡單結果
。就算菲爾茲獎得主陶哲軒，也不例外，不是是什麼零零碎碎的知識，他都能迅速通過肉腦搜索出來。他出現這個烏龍，一點也不奇怪。
喧囂過後，我們哆嗒數學網的小編們突然想到，這個公式本身是真的，不是嗎？再進一步思考發現，難得有菲爾茲得主發表的文章，其中的數學內容能讓一個普通的大學生有可能看得懂、理解的了，說不定還能欣賞、評鑑……
——而且這還是網上熱點，絕佳的一個聊聊線性代數的機會不是嗎？
好了，我相信大多數關心這個新聞的人都還不知道這個公式具體是啥，因為數學家們使用的符號會讓讓人嚇得退避三舍，不敢再深究。這篇文章將把正在讀這篇文章的人看成非數學系的理工科考研黨（或者相應水平），用一個簡單的例子來解讀這個公式到底在說啥。
首先，你都是考研黨了，一定會複習線性代數這門課程的內容。知道矩陣、特徵值、特徵向量概念。陶哲軒的這個公式就是針對埃爾米特矩陣求特徵值的公式。什麼不知道什麼是埃爾米特矩陣？不慌，這個類型的矩陣可能不是每一個學習線性代數的同學都會學，但是另外一個概念一定會學：實對稱矩陣——矩陣裡每個變量都是實數，且其轉置等於本身的方陣。實對稱陣是一種特殊埃爾米特矩陣，作為考研黨的你，就把這個公式結果認為是針對是對稱陣的，這樣不會影響你品味這個公式。
好了，你理解了，這是一個可以對實對稱陣求特徵向量的公式。無論你大學老師還是你的考研輔導班的名師都會告訴你求方陣A特徵向量的流程：
第二步：對剛才每個特徵值λ，解線性方程組(λI-A)X=0，找到每個方程的線性無關的的解，得到的解就是特徵值λ對應的特徵向量。
這裡，幫你回憶一下用到的知識點，第一步你要會求行列式、大多時候你還要分解因式來求解方程的根。第二步，你要用到解線性方程組，有可能用到高斯消元法。
陶哲軒的那個新公式告訴你，哪怕你很菜，直到你上考場之前，都沒掌握解線性方程組的方法，你一樣也有可能解出特徵向量，而且用到的知識點全部都在第一步當中——你只要會求特徵根就行。
——少記憶一個知識點，這樣講是不是很吸引人？
這個公式會在第二步會拆成下面幾個分步做：
新第二步第一分步：刪掉A第1行第1列的元素，得到子矩陣，刪掉A第2行第2列的元素，得到子矩陣，……，刪掉A第n行第n列的元素，得到新矩陣。最後得到n個子矩陣。
新第二步第二分步：每個子矩陣計算特徵值。這樣每個子矩陣有n-1個特徵值，這樣的特徵值有n組。
新第二步第三分步：通過以上不同地方計算得到的特徵值，直接計算每個特徵向量的分量值的絕對值。在通過線性無關的關心決定去掉絕對值的選取的符號。
陶哲軒的公式在原文裡是這樣的，很嚇人。
於是，我們針對三階實對稱方陣來把他簡化成下圖這樣。
我們做一道具體的題目，就算下面這道，怎麼樣，是不是很像你們的課後習題或者期末考試題？
這道題很容易算出x，y的值。最後就算找一個正交矩陣做對角化的問題。那個要找的矩陣P就算單位化的特徵向量拼成一個矩陣而已。
特徵值是，2，1，-1 ，也就是：
按傳統做法，回去解下面的三個線性方程組，分別得到特徵向量。最後得到P。
新公式的辦法，會先分列子矩陣，分別計算特徵值。
然後套公式解出每個分量的絕對值。
你會發現，有兩個特徵向量的每個分量絕對值是完全一樣的，因為特徵向量需要線性無關，於是很容易決定正負號的選擇。另外哪個是特徵值1對應的特徵向量，哪個是特徵值-1的特徵向量還要做乘法試一試。
這樣同樣能得到P的結果：
當然，我們曾經試圖使用這個方法想辦法解決四階方陣的問題，一般計算量會更大，並不實用。
好了，不知道你在考試中這樣做會不會得分，不過的確沒有解過任何線性方程組，答案也是對的。
總之，祝你好運！
關注 哆嗒數學網 每天獲得更多數學趣文