螞蟻都知道走折射路線，最小作用量原理的物理之美

假如你是造物主，想用最簡潔的原理創造一個有規律的世界，那麼最小作用量原理可能是你的最佳選擇，因為這條原理貫穿了經典物理學到現代物理學，甚至在宇宙學、經濟學、生物學中都發揮著作用。

費馬原理

生物學家對火蟻的行為研究發現，火蟻在通過兩種不同介質的表面時，它們趨向於選擇耗時最短的路徑，而不是距離最短的路徑；研究人員還解釋到，火蟻依靠化學痕跡確定路線，在長期的進化過程中，火蟻會集中形成最佳路徑，以此節省爬行時間和能量。

火蟻這種選擇最短時間路線的現象，類似於物理學中光的折射，也就是光在斜著穿過兩種透明介質的交界處時，其傳播方向會發生變化，並滿足折射定律「n1sinθ1=n2sinθ2」。

早在16世紀，荷蘭物理學家斯涅爾就發現了折射定律，到了17世紀，法國數學家費馬進一步提出費馬原理，當時他稱之為「最小時間原理」，內容是：光總是選擇耗時最少的路徑傳播。

費馬原理更準確地應該稱之為「平穩時間原理」，因為在某些特殊的場合，光可能會沿著時間最長或者時間拐點路徑傳播，也就是時間的一階導數為零的路徑。根據費馬原理，我們很容易推導出幾何光學的直線傳播定律、反射定律以及折射定律.

比如下圖中，光從A點傳播到B點，期間穿過介質1和介質2的交界處，並且在介質2中的傳播速度低於介質1，對於光線來說有無數種路線可以選擇，比如A到B的直線就是一條看起來不錯的路徑，也可以選擇交界面上任何一點O為拐點。

「光在同種介質中沿直線傳播」的前提下，我們根據費馬原理，光選擇時間最短的路徑傳播，會使得下面這個式子的值最小：

AO/v1+BO/v2=min

其中:

AO^2=CO^2+AC^2

BO^2=DO^2+BD^2

CO+DO=CD=定值

且AC、BD為定值

對公式進行微分可以得到：sinθ1/v1=sinθ2/v2

我們定義介質的折射率後，就有折射定律n1sinθ1=n2sinθ2。

最小作用量原理

費馬原理雖然只適用於幾何光學當中，但是在其他領域同樣起著指導作用，比如約翰·伯努利曾經藉助這個思想，成功地解決了最速降線問題。有了費馬原理的思想，再經過多位數學家和物理學家的推進，在18世紀發展出最小作用量原理。

最小作用量原理的一個表述版本：對於所有的自然現象，作用量總是趨向於最小值。

當該原理應用於機械系統時，就得到該系統的運動方程，比如一條兩頭懸掛的鐵鏈，鐵鏈的形狀總是使得整條鐵鏈的重力勢能最低。

還有水滴總是趨向於球形，因為這樣能使水滴表面張力最小，在地球表面附近，由於水滴自重把水滴重心拉低，這樣在表面張力和重力的共同作用下，最終呈現出我們見到的水滴狀。

當把最小作用量原理應用於能量系統時，就得到了能量最低原理，也就是一個系統的能量越低越穩定，該原理不僅在經典力學中成立，而在量子力學和相對論力學中也有著重要應用，比如：

1、量子力學的原子模型中，核外電子處於基態時原子最穩定，此時核外電子的能量最低。

2、原子核中的平均核子質量最低時，原子核最穩定，在所有原子中鐵的平均核子質量最低，所以鐵的原子核最穩定，所有聚變反應與裂變反應都是朝著鐵進行的。

3、太陽系和銀河系之所以都成扁平狀，是因為在引力勢能和動能的共同作用下，該形狀的能量最低也最穩定。

我們在物理學的各個領域，都可以找到最小作用量原理的影子，比如拉格朗日力學就是基於最小作用量原理建立的；還有費曼發明的路徑積分，以優美的形式解釋了量子力學的波動性和粒子性，其靈感正是來源於最小作用量原理。

在量子力學的雙縫幹涉實驗中，用光的粒子性解釋總有些違背常理的地方，而費曼積分解釋到，光子會走所有的路徑，但並不是所有路徑的概率都相同，其中一些路徑會相互疊加抵消，最終剩下的就是光子實際走的路徑。

以上談了這麼多例子，給了我們一個非常好的啟示：我們尋找物理規律，其實就是在尋找最小作用量。

諾特定理

在物理學中，還存一個和最小作用量相媲美的性質——對稱性，一旦我們把作用量和對稱性結合起來，還能得到更美妙的結果。

艾米·諾特是上世紀著名的德國女數學家，曾被愛因斯坦稱為數學史上最重要的女人，也被譽為現代數學之母，她提出的諾特定理是現代物理學的中心結果之一。

諾特定理描述：力學體系中每一個連續的對稱變換，都對應一個守恆量。

目前物理學有幾十種這樣的對稱關係，大家最為熟悉的有：

空間平移對稱性——動量守恆

時間轉動對稱性——角動量守恆

時間平移對稱性——能量守恆

規範變換對稱性——電荷守恆

前面三種守恆定律演繹了時間和空間的基本對稱規律，意味著無論在何時何地重複同一種物理實驗，我們都能得到同樣的結果；電荷守恆早在18世紀就被發現，直到諾特定理提出後，科學家順藤摸瓜才有了規範變換對稱性。

諾特定理告訴我們，物理規律的對稱性就是作用量的對稱性，我們要尋找最小作用量，可以先找到對稱性，然後根據諾特定理找到對應的作用量，再去發現最小作用量，從而得到相應的物理規律。

這是多麼美妙的一件事啊！想想幾百年前科學家要想得到物理規律，只能根據經驗或者靈感去猜，現在我們有了一種系統的方法去尋找物理規律；而且以前看起來完全不搭邊的守恆定律，居然都可以由諾特定理給出，難怪諾特定理在現代物理學中處於中心位置。

如果你是造物主，在創造世界時，肯定不會單獨去設計諸如空氣阻力F=（1/2）CρSV^2這種公式，你只需要設定最小作用量原理，然後添加幾個作用量，並讓作用量遵循某個對稱性，這樣大自然就變得美妙與和諧了。

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