很多自然現象的數學分析都需要微積分，但這往往有個問題，那就是經過一系列計算的中間步驟之後，對相關的物理反而搞不清了。經常在算出結果之後，要進行一大通的總結、分析，才能得出物理，而不是每一步計算都使人對相關的物理有更多的理解。比如說，行星橢圓軌道的問題，一般的計算是解一個二階常微分方程，中間還搞了一個 u=1/r的變換。為什麼？ 很難說清楚。當然也可以用能量守恆關係楞積分，但計算更為繁瑣，橢圓怎麼出來的更是糊塗。這個問題我用中學數學解出之後，頓時就清楚了，而且每一步計算都使人對這個自然現象理解更深，而不是更糊塗。
因此，對於自然哲學的理解，應該儘量先回到人更有直覺的代數，加減乘除，在需要的時候，再拿出分析工具。就像種菜，先用手探探土壤，然後再開始用鋤頭。
前天吃飯的時候，服務生端上一杯冰水，無意中，我放了一根筷子進去，讀者立刻知道，應該看到筷子中間折了一下。原因是，水中筷子反射的光在出水的時候改變了方向。這個折射現象，幼兒園小朋友都知道的。物理原理是什麼？為什麼光不走距離最短的直線，而是來個轉折呢？
實際上，光走的路徑是一條最優路線，但不是距離最短，而是從出發點到目的地的時間最短。就像你把GPS導航設成達到目的地最短時間一樣，光似乎有種第六感覺，預先知道哪條路徑時間最短。但這不能證明有上帝，物理學在尋求這個原理更深層的原理時，恰恰證明了沒有上帝。這一點，我在之前與基督教的朋友們辯論時提到過。
好。我們知道了基本原理：光走從出發點到目的地時間最短的路徑。這稱為費馬原理。現在看看為什麼直線不一定是時間最短的路徑。如下圖（方槍槍或者貓眼同學，你們能不能畫一幅啊？）
光在水下的速度為v1,水上的速度為v2， v1小於v2。從A到B的直線距離最短，但是光在水下跑的距離長，導致時間長，要減少時間，光應該減少在水下跑的距離，這樣水下時間減少，但減少水下的距離，在空氣中的距離就延長了，時間增加。在某個角度，這個從A到B的總時間最少。
搞清了基本原理，下面就是數學了。通常的做法是，算出光路徑的總時間與光出水位置的關係，然後進行微分計算，最後突然發現，這不出現了兩個角度的正弦嗎？美妙簡潔的物理（或者數學）在計算中幾乎丟失了。所以，我們試圖回歸人的本能，加減乘除。
如果你向正上方扔一個球，什麼時候球的高度最高？答案是球速度為零的時候。速度為零是什麼意思？就是說高度隨時間的變化在那一瞬間為0。類似的，在上面的圖中，假設最佳出水點為C，那麼如果我們把這個出水點做微小的變化到D，ACB與ADB兩條路徑的差不是正比於CD之間的距離，而是為零。換言之，時間最短的路徑附近的路徑都差不多，英文稱為stationary路徑。有了這個概念，確定最佳出水角度就簡單了。
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