蜜蜂與數學

蜜蜂，這可愛的小生靈在許多方面都曾引起人類的注意。其中它所建造的蜂房之巧妙尤其令人讚嘆有加。如偉大生物學家達爾文所說：「蜂房的精巧構造十分符合需要，如果一個人看到蜂房而不倍加讚揚，那他一定是個糊塗蟲。」

蜂房的奇特結構早在1000多年前就已進入古希臘數學家的研究視野。帕波斯在他8大卷的《數學彙編》第5卷前面有一個序言，提出一個十分新穎的問題：蜜蜂的機敏。序言中同時給出關於蜂房結構的一段很精彩描寫：

所有的蜂巢相等、相同並且毗連在一起，形狀是六邊形的。

我們可以推斷，它們依據某種幾何的構想設計了這種蜂巢。它們必然想到了為使空隙中不落入異物而弄髒它們的產品，所有的圖形必須一個連著一個，而且有公共邊。由於不規則圖形會使蜜蜂們不快，這樣，只有三種直線圖形滿足條件，我指的是等邊等角的規則圖形。正三角形、正方形和正六邊形能夠一個連一個並且有公共邊而不留下不規則的空隙……於是有三種圖形自身可以鋪滿同一點周圍的區域，正三角形、正方形和正六邊形。蜜蜂憑它們的智慧為它們的產品選擇了角數最多的圖形，它們覺察到正六邊形比其他兩種能夠儲存更多的蜂蜜。

那麼，蜜蜂只知道這個對它們有用的事實，即花費同樣的材料建造蜂巢時，正六邊形比正三角形和正方形蜂巢大，從而可以儲藏更多的蜂蜜。但是自認為在智慧方面比蜜蜂更勝一籌的我們將研究稍微廣泛一些的問題，即周長相等的等邊等角的平面圖形中，角越多的面積越大，其中面積最大的是具有相同周長的圓。

正如我們所熟知的，蜂巢從正面看，都是排列整齊的正六邊形。帕波斯在對蜂巢結構的分析中指出了這一特點，並解釋了其中的原因：只有正三角形、正方形、正六邊形能鋪滿整個平面區域，而使用同樣多的原材料，正六邊形比正三角形和正方形具有更大的面積，從而可儲藏更多的蜂蜜。

不過，蜂巢的奇特結構，絕不僅僅是表面上的六邊形。進一步觀察，每一個正六邊形的洞都是一個六稜柱的巢的入口。這些六稜柱的背面，同樣有許多形狀相同的洞。換句話說，整個立體的蜂巢具有左右（或前後）兩側的儲藏室。如果一組洞開口朝南，那麼另一組洞的開口就朝北。這兩組洞彼此不相通，中間用蠟板隔開。

蠟板隔開。

奇特的地方是這些隔板如上邊右圖所示，是由三個大小相同的菱形組成的。1712年，法國科學家馬拉爾迪(1665～1729)在其《蜜蜂的觀察和研究》中指出蜂巢底部的菱形結構，並給出菱形的鈍角為109°28′，銳角為70°32′。蜂房為什麼會有這種不尋常的結構呢？不久，另一位法國科學家雷奧米爾(1683～1757)作出一個猜想，他認為用這樣的角度來建造蜂房，在相同的容積下可使表面積最小，因而可以用最少的蜂蠟做出最大容積的儲藏室。

後來他向一位瑞士數學家柯尼希(1712～1757)請教：怎樣選擇三個全等的菱形為頂蓋來封閉一個正六稜柱，使這個立體含相同的容積，而表面積最小？柯尼希計算的結果是鈍角為109°26′，銳角為70°34′。與猜想的數值有兩分之差。柯尼希甚至說蜜蜂解決了超出古典幾何範圍而屬於牛頓、萊布尼茲微積分的問題。不過他的計算方法始終沒有發表，只是刊登了一個簡介。

1743年，蘇格蘭數學家馬克勞林(1698～1746)重新研究蜂房的形狀，得到更驚人的結果。他用初等幾何方法，得出的結果和猜想一致。兩分的誤差，不是蜜蜂不準，而是柯尼希算錯了。於是「蜜蜂正確而數學家錯誤」的說法便流傳開來。後來人們發現柯尼希也沒錯，問題出在他所用的數學用表有誤。

蜜蜂為什麼會選出這樣的角度？帕波斯認為造出六角形的巢，是出於一種「幾何的深謀遠慮」。後來，達爾文把蜜蜂的建築才能稱作「在已知的本能中最為奇特的一種」，並且補充說：「這是自然選擇使其建築術能臻於最完美無缺的境地。因為就我們所知，蜜蜂的巢室在節省勞力和蜂蠟這兩方面都是盡善盡美的。」

有趣的蜂房問題的吸引力一直延續著。德國數學家杜婁曾收集有史以來最著名的100個數學問題，蜂房問題即是其中之一。蜂房極值問題也曾引起我國數學界廣泛注意，並出現過不少解法。我國著名數學家華羅庚(1910～1985)在20世紀60年代初期對蜂房問題產生了濃厚興趣，並在大江南北做過多次介紹蜂房極值問題的報告。他還對這一課題作出進一步拓展，並發表了小冊子《談談與蜂房結構有關的數學問題》 (上海教育出版社，1964)。作為小引，他作詩道：

人類識自然， 往事幾百年，

探索穹研， 祖述前賢，

花明柳暗別有天， 瑕疵訛謬猶盈篇，

譎詭神奇滿目是， 蜂房秘奧未全揭，

氣象萬千。 待咱向前。

現在，蜂房的奧秘是否已經都被揭開了呢？沒有。比如1964年匈牙利數學家託特提出新的「蜂巢問題」：一個體積和深度都已確定的蜂巢建造時該用什麼形狀，才能使表面積為最小。這個問題至今尚未解決，但可以確定蜜蜂所造的蜂房不是最經濟的。如託特發現了一種底部形狀，它由兩個六邊形和兩個菱形組成（如下圖所示），這種結構要比蜜蜂的蜂室更節省材料。因此，我們可以說，蜜蜂做的工作相當好，但還不圓滿。

由此，我們亦有必要糾正一點認識。人們有時會習慣地認為，以工程學的標準衡量，某些自然形成的結構可能是最好的結構。但是如果認為對於環境提出的問題，自然所作出的解答是最佳的解決方案就錯了。也許根本無需是最佳方案，也許因為其他的限制或要求，或純粹因為運氣欠佳，自然選擇所提供的不同的解決方法中並不包含最佳答案。達爾文對蜂巢的稱讚或許過譽了吧。