一篇圖文帶你讀懂:數學界至今未解決的難題——哥德巴赫猜想

2020-12-03 騰訊網

一、什麼是哥德巴赫猜想

哥德巴赫是德國的一位數學家，生於1690年。1742年，哥德巴赫在給歐拉的一封信中提出了以下猜想：

任何一個大於2的偶數都可以寫成兩個質數之和。

哥德巴赫

儘管哥德巴赫提出了這個設想，但他自己卻無法證明它，於是他就寫信向赫赫有名的大數學家歐拉請教幫忙證明，但是歐拉苦思一生，也無法給出證明。現在，數學界已經約定「1不是素數」，所以原初的猜想現代陳述為：

任一大於5的整數都可寫成三個質數之和。（註：當n為偶數，n=2+(n-2)，n-2也是偶數，可以分解為兩個質數的和；當n為奇數，n=3+(n-3)，n-3也是偶數，可以分解為兩個質數的和）

歐拉在給哥德巴赫的回信中也提出另外一個等價版本，即：

任何一個充分大的偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和，記作"a+b"。亦稱為「強哥德巴赫猜想」或「關於偶數的哥德巴赫猜想」。

歐拉

從此，這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬數學家的注意。兩百多年過去了， 沒有人能證明它。哥德巴赫猜想由此成為了數學皇冠上一顆可望不可及的"明珠」。

二、國外數學家對哥德巴赫猜想的研究

19世紀，數學家們開始研究數論。雖然數論的歷史非常悠久,但它成為數學的一個獨立分支卻是比較晚的事情。高斯於1801年發表的著作《算術研究》, 被認為是數論作為一門獨立學科誕生的標誌，這裡的「算術」是指「高等算數」或「數論」。革命性的變化發生在1859年。當時，德國數學家黎曼發表了題為「論不超過一個給定值的素數個數」的論文，其中他用複變函數的理論來研究數論。

高斯、黎曼、阿達馬、普桑

在無數前人研究的基礎上，到了20世紀，才有數學家阿達馬、普桑、哈代、李特爾伍德等人開始通過數論的方法來向哥德巴赫猜想的證明靠近。1920年，挪威數學家布朗用一種古老的篩選法證明，得出了一個結論：每一個比36大的偶數都可以表示為「9+9」。這種縮小包圍圈的辦法很管用，科學家們於是從「9+9」開始，逐步減少每個數裡所含質數因子的個數，直到最後使每個數裡都是一個質數為止，這樣就證明了」哥德巴赫猜想」。

哈代、李特爾伍德、布赫夕太勃、布朗

1924年，德國的拉特馬赫證明了「7+7」。

1932年，英國的埃斯特曼證明了「6+6」。

1937年，義大利的蕾西先後證明了「5+7」，「4+9」，「3+15」。

1938年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「5+5」。

1940年，蘇聯的布赫夕太勃證明了「4+4」。

1948年，匈牙利的瑞尼證明了「1+c」，其中c是一個很大的自然數。

1965年，蘇聯的布赫夕太勃和小維諾格拉多夫，以及義大利的朋比利證明了「1+3」。

三、中國數學家對哥德巴赫猜想的研究

在中國，華羅庚早在20世紀30年代就開始研究數論方面的問題。1936～1938年，他赴英留學，師從哈代研究數論，並開始研究哥德巴赫猜想，驗證了對於幾乎所有的偶數的猜想。華羅庚也是中國最早從事哥德巴赫猜想的數學家。

華羅庚

1950年，華羅庚從美國回國，在中科院數學研究所組織數論研究討論班，選擇哥德巴赫猜想作為討論的主題。1952年，他在中國科學院數學研究所組織並領導了「哥德巴赫猜想討論班」，開始對這個世界難題的攻堅戰，並取得了重要的進展。參加討論班的學生，例如王元、潘承洞和陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明上都取得了相當好的成績。但是最後一步卻是異常的艱難。

華羅庚與學生們

1956年，中國數學家王元證明了命題「3+4」,由此開啟了我國在偶數哥德巴赫猜想命題研究上的先河。之後，王元和另一位中國數學家潘承洞又得到了若干重要的結果，使得我國在哥德巴赫猜想方面的研究達到了國際先進水平。

王元

潘承洞

1966年，陳景潤宣布證明了命題「1+2」。1973年，他發表了命題「1+2」的全部證明。陳景潤的工作得到了國際數學界廣泛的讚譽，被公認為是篩法理論最出色的應用，是關於偶數哥德巴赫猜想研究最傑出的成果。

陳景潤

目前最佳的結果是中國數學家陳景潤於1966年證明的，稱為陳氏定理。即：任何充分大的偶數都是一個質數與一個自然數之和，而後者僅僅是兩個質數的乘積。通常都簡稱這個結論為大偶數可表示為「1+2」的形式。

陳景潤先生1996年3月在北京逝世，潘承洞先生1997年12月在山東濟南逝世。

王元先生現在仍然參加一些學術活動，並常作講演。他擅長書法，曾為《數學文化》創刊號題寫了賀詞。

四、弱哥德巴赫猜想

從關於偶數的哥德巴赫猜想，可推導出：

任何一個大於7的奇數都可寫成三個質數之和。亦稱為「弱哥德巴赫猜想」或「關於奇數的哥德巴赫猜想」。很明顯，若關於偶數的哥德巴赫猜想是對的，則關於奇數的哥德巴赫猜想也會是對的。

2013年5月，巴黎高等師範學院研究員哈洛德·賀歐夫各特發表了兩篇論文，宣布徹底證明了弱哥德巴赫猜想。

這個猜想被稱為是「弱」的是因為如果哥德巴赫猜想成立，弱哥德巴赫猜想也成立——若任何一個大於4的偶數都是兩個奇質數的和，由於將每個大於4的偶數加3就可以得到一個大於7的奇數，而3是一個奇質數，弱哥德巴赫猜想自然成立。

哈洛德·賀歐夫各特

五、哥德巴赫猜想已被高中生證明？

2018年12月22日，有人在知乎上提問「如果高中生能證明哥德巴赫猜想，能否保送清華北大？」，非常吸引眼球。隨後該作者上傳了自己的證明過程，更是引來無數吃瓜群眾圍觀，這個高中生的帳號關注量瞬間上萬。

某網站上的高中生帳號介紹

證明過程主要用到了初等數學的知識。看不懂也沒關係，因為許多網友一眼便發現了他的錯誤：第一頁第6行，使用逆否命題的地方，其結論「-1不是負質數」與開頭的假設「-1是負質數」自相矛盾。最後這個風波在網友們的揭穿下漸漸淡出人們的視野。

某高中生對哥德巴赫猜想的證明過程

最終會由誰攻克「1+1」這個難題呢？現在還無法預測，不過，王元最近有一個演講，說英國數學家正在探討採取一個「繞道的方式」來證明，但願不久的將來會再有新的突破。

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