正整數的性質 D6

23. 如果正整數 a、b、c 滿足 c²=a²+b².

證明:數 c²+ab 和 c²-ab 都可以表示為兩個正整數的平方和.

解: 巧妙運用下述命題:

如果正整數 x 可表示為兩個正整數的平方和,則 2x 也可表示為兩個整數的平方和.

事實上,設x=u²+v²,

這裡 x、u、v 都是正整數.

則 2x²=2u²+2v²

=(u+v)²+(u-v)².

於是,2x 可表示為兩個整數

u+v 和 |u-v| 的平方和,命題獲證.

注意到,由條件有

2(c²±ab)

=c²+a²±2ab+b²

=c²+(a±b)².

利用已證命題,可知

由c²=a²+b²

可知 x、y 都是正整數,並且

4(c²±ab)=x²+y².

若 x、y 不同為偶數,則由

平方數≡0 或 1(mod4),

可知 x²+y²≡1 或 2(mod4) 這是一個矛盾.

所以,x、y 都是偶數,從而

c²±ab=(x/2)²+(y/2)²,

這就是要證的結論.

評註   這裡本質上只是恆等式

2u²+2v²=(u+v)²+(u-v)²

的應用,在競賽時,代數式變形能力顯得十分重要.

24. 是否存在正整數 m、n 使得

a=3m+3n+1

是完全平方數?

解: 分如下三種情形討論:

(1) 若 m、n 都是偶數,

則 3m≡1(mod4),

3n≡1(mod4),

所以 a=3m+3n+1≡3(mod4),

故此時 a 不是完全平方數.

(2) 若 m、n 都是奇數,

則 3m≡3(mod4),

3n≡3(mod4),

所以 a=3m+3n+1≡3(mod4),

故此時 a 不是完全平方數.

(3) 若 m、n 是一奇一偶,不妨設 m 是奇數,n 是偶數,

則 3m≡3(mod8),

3n≡1(mod8),

所以 a=3m+3n+1≡5(mod8),

故此時 a 不是完全平方數.

綜上所述,對於任意正整數 m、n,正整數

a=3m+3n+1

都不是完全平方數.

判斷一個數不是完全平方數,我們也可以用「模」的方法,

例如,我們知道,偶數的平方是 4 的倍數,奇數的平方除以 4 餘 1,所以,若一個整數同餘 2 或者 3 模 4,則它一定不是完全平方數;

類似地,若一個整數同餘 2 模 3,則它一定不是完全平方數;

一個整數同餘 2、3 模 5,則它一定不是完全平方數等等.其實,考慮末位數也是用「模」的方法,即模 10.

25. 已知 n 是正整數,且 2n+1 和 3n+1 都是完全平方數,

求證:40|n.

解: 因為 40=2³×5,

所以,只需證明:2³|n,

且 5|n 即可.

設 2n+1=a²,

3n+1=b²,

其中 a、b 都是正整數.

由於 a 是奇數,

所以,a²≡1(mod8),

從而 4|n,

於是,3n+1 是奇數,

所以,b²≡1(mod8),

即 3n+1≡1(mod8),

從而 n≡0(mod8).

又對於任意整數 x,

有 x≡0, ±1, ±2≡2(mod5),

所以,x²≡0,1,4(mod5),

於是 a²+b²

=5n+2≡2(mod5),

故只能是 a²≡b²≡1(mod5),

所以,2n+1≡1(mod5),

從而 n≡0(mod5).

因為 (8,5)=1,

所以,40|n