維數不止整數,還有分數?帶你探索分形的世界.(初步)

存在連續空間。                                             ————豪斯多夫，於1910年                    密集恐懼症患者慎入
自然界中的大部分圖形都是十分複雜且不規則的，因此人們便自然而然地希望能找到可以描述這些複雜現象的幾何工具。
於是，分形幾何學就應運而生了。
那今天我們就來聊聊「分形幾何學」
---THE FRACTAL GEOMETRY
分形幾何學，重點在「分形」,而「分形」，又是與「分維」密不可分的。
分維，全稱「分數維度」
 



分數維度？少蒙我，零維，一維，二維，三維我都懂，四維，五維我也好理解，這蹦出來個分數維度？
這分數維度確是較為生疏的概念，它和我們熟知的一維二維三維屬於不同的維度體系，一維二維三維，同屬於拓撲維體系，在該體系下，維數只能為整數；而分維屬於豪斯多夫維體系，在該體系中，維數可以為不小於1的分數。
等等，那分維這個概念是怎麼來的？憑空「捏造」的？
哈，那可又要回到我們的拓撲維體系中來了，畢竟論輩分，分維可得叫整數維祖宗。
分維實際上是由整數維擴充而來的。蛤？怎麼擴充的？
那先得講講整數維的定義；
相信在小學階段，大家都見過這麼一個問題，其實整數維的定義，也是由此而來的：
一個邊長為1的正方形，各邊延長至原先的3倍，問變化後的面積變為原來幾倍？
不用多想，我們就能得出9這個答案。
原先面積是1²=1，變化後的面積則是3²=9
同樣，在立體中我們也可給出類似的問題：
一個邊長為1的立方體，各邊延長至原先的3倍，問變化後的體積變為原來幾倍？
不用多想，我們都能得出27這個答案。
原先體積是1³=1，變化後體積則是3³=27
記住，我們的目的是要定義整數維。那麼我們就要試著把問題推廣到一般形式以找出邊長增加至的倍數 l ，「次數」D（最為重要，為需要延長的邊長數），及得到的結果N（變化後得到的圖形是原圖形的幾倍）的關係。
不難發現它們有如下關係：
做下變換，把D「弄出來」
D，需要延長的邊長數，即是維數！（想一想，對不對？）

小小慶祝一下吧，我們已經找到了整數維數的定義式！
但是還沒完，記得分維是由整數維概念擴充而來的嗎？
怎麼擴充的呢？
定義式，定義式，要定義就得有定義域，定義域是限制，除去了限制，維數自然也就被推廣了。
這裡我們做一次「質的飛躍」：即除去lgN/lgl必為正整數的限制。
那麼D即可為小數！分維也被我們定義了！
終於處理完了分維，現在讓我們回到具有分維性質的分形上來。
數學是抽象的，公式易推導，圖形難想像，到底什麼樣的圖形是「分的」呢？
                                  ？
翻閱文獻中。。。。。。。。。。。


所謂分形，是要具有兩種性質的（兩種性質是互依的）圖形：
自相似性：分形的任意局部總是與整體相似的。
標度不變性：分形經過放大後，其標度（比例尺）改變，其幾何性質卻不變，放大前線條之間角度是多少，放大之後還是多少，各段與各段長度之比放大前是多少，放大之後還是多少，放大不放大觀測上都是一樣的。


看起來，自相似性和標度不變性只是名稱不同，本質並無區別。
（實際上，自相似性是從純數學角度來定義的，而標度不變性則是從觀測上來定義的。）

可是那裡存在這種「怪胎」呢！眼見為實，倒是拿出來個給我們看看啊！



別急，這就奉上。


拓撲維-2  分形  【對於圖形的分類，必須要使用「真實維度」，即整數維度——拓撲維，所謂「分維」實際上是對圖形某些更細微的性質進行描述，如複雜度，不規則度，而不能用於分類】
科赫曲線必是其中著名典範之一
下面我們來構造一條科赫曲線。

如圖，①將一線段三等分；
②將其中間一段捨去，並以兩條相同長度的折線替代，使其中間部分構成一無底邊的「等邊三角形」；
③將新得到的線段逐一三等分，各段中間部分分別再次用兩條長度相同的折線替代；
④不斷重複以上步驟，當步驟數趨於無窮時，我們就得到了一條科赫曲線。（這不代表你徒手作圖要花上一輩子，畫個大概即可。若想要得到極其精細的圖形，可用Mathematica，Java軟體生成）
這樣一條曲線就是具有所謂自相似性（標度不變性）的，下面我們來驗證一下，選取任意一段（紅框內）,
放大3倍，所得的圖形依然是與原圖一模一樣的

果真，它的一個局部是與整體相似的！
示例中的局部放大3倍即是原圖，而原圖又是由4個局部組成的。
那麼，由於其自相似性（標度不變性），科赫曲線就是一個分形，有分形性質就有一確切的分維：
（我們可以認為它是一個因為具備某些特殊性質，而凌駕於一維之上，而又跳不出二維平面束縛的圖形）
而折線長度，以每步驟4/3倍的形式遞增，那麼其最終形態：科赫曲線的長度即可由下式給出：
其中，L。表示線段初始長度

由於步驟趨於無窮大，故n也趨於無窮大，那麼科赫曲線的長度自然也是趨於無窮大，即 L→∞,求長度顯然是無意義的。

但你若覺得鼎鼎大名的科赫曲線就這點可討論的餘地，那你便錯了。



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問題亂入：
試問由三段科赫曲線互相拼接所組成的「科赫雪花」的面積為幾何？

相信勤學善思的你，一定能得出答案。

讓我們離開拓撲維-2，轉而進入拓撲維-3

拓撲維-3  分形
典例：門格爾海綿
讓我們來構造一個門格爾海綿

                            如圖，①將一實心正方體27等分；
②挖去正方體六個面中心部分的六個小方塊，及正方體正中心的小方塊；
③對餘下20個小方塊進行同樣的操作；
④不斷重複以上步驟，當步驟數趨於無窮時，我們就得到了一塊門格爾海綿。（該立體模型同樣可由Mathematica軟體生成）

同樣，我們選取其中任意一塊（紅框內），
將小海綿各方向拉長為原來的3倍，即體積為原來的20倍（注意除去其六面中央及正中心已鏤空的7小塊所佔的空體積），我們發現，這一塊小海綿與大海綿也是相似的。

示例中的小海綿各方向拉長3倍即是大海綿，而大海綿又是由20個小海綿組成的。

那麼，門格爾海綿也具有自相似性（標度不變性）
那麼，我們也可求其分維：
而原來的大實心方塊的體積，以每步驟20/27倍的形式遞減，那麼其最終形態：門格爾海綿的體積可由下式給出:
其中V。表示大實心方塊的初始體積
顯然，生成門格爾海綿的步驟需要無窮多，意味著n也要趨於無窮大，那麼門格爾海綿的體積自然也趨於無窮小V→0
可是，如果門格爾海綿的體積趨於0的話，它不應該不存在嗎？我們又怎能從視覺上「看見」這好似分量十足卻又實際空無一物的「實體」？
這實際是因為我們混淆了「趨於」和「等於」的概念，「趨於0」表示無限接近於0，但絕不會「觸及」0。這就好比V和0之間仍有那麼一點「殘餘物質」阻止著V=0。
所以說，門格爾海綿或多或少仍有一點體積殘留，這已足以讓我們看到它的全貌。

可見，分形幾何學所包含的不僅僅只有求分維時的死板對數概念，還包含了極限理論等諸多內容。


可問題又來了，這些分形都是規則圖形啊，大自然之千變萬化，神秘莫測，豈能就這麼簡單地描述出來？

也太小看我分形了吧。
加入點隨機性，圖形就從有規變為無規：
(海岸線）
(花叢）

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隨機就是隨便？那豈不亂了套......


高斯正態分布！大概率事件總是集中在圖形的中間部分（凸起），
而小概率事件則匯聚在於圖形兩側部分（相對平緩）
這意味著，所謂隨機，其實也是有規律可循的。

約翰 · 卡爾 · 弗裡德裡奇 · 高斯，(1777.04.30－1855.02.23）,在研究測量誤差時從另一角度導出了高斯正態分布

大自然變化萬千，雜亂中也深藏著秩序，無盡的規律一直等待著我們去探索發現。

分形幾何學正是我們描述大自然的有力工具之一，亦是大自然給予我們
勾勒這個世界的一支畫筆。

就讓我們追隨著它的筆跡，來結束這篇文章吧。










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