和諧幾何,分形之美——數學與自然的相映成輝

2020-12-04 遇見數學

[遇見數學創作小組] 作者 Kevin.

分形，一個幾何學專用名詞，乍一看很高級，實際上，我們都能領略它的美麗。

首先，什麼是分形呢？我們來看圖1，這是網絡上的一張分形圖，遠看可能只是幾個螺旋，但是，走進了看，你會發現有大螺旋，還有各種小螺旋。更有趣的是，這些螺旋雖然大小不同，但是形狀都是一樣的，連整個圖形的輪廓也有這個形狀。數學上稱之為相似。也就是說，把這張圖片隨意地放大或者縮小，都會看到一樣的形狀。這其實就是分形，它可以被分成幾個部分，都有自相似性。雖然說看多了可能會有催眠的效果，但這確實有一種美感，吸引我們去研究。

▲ 圖1 朱利亞集合, 以法國數學家加斯頓·朱利亞的名字命名(圖自維基)

既然說到相似比，那麼我們來介紹一下它。如果說到兩個圖形是相似的，那麼他們一定是形狀相同，但是大小是不同的。要做到形狀相同，那麼它們的邊一定是成比例的。

舉個例子，兩個三角形相似，記小三角形三邊為 a,b,c，大三角形三邊為 A,B,C，那麼

其中 k 是個常數，而大三角形與小三角形的相似比就為 k。

關鍵的來了！研究分形，我們還需要引入一個概念，那就是豪斯多夫維數(Hausdorff dimension)。維度這個詞相信大家都不陌生，點為 0 維，線為 1 維，平面 2 維，空間 3 維。大多數人能認知的大概有這麼 4 個，而且這 4 個維度在日常生活中一直存在。但是，我們有沒有想過維度是怎麼定義的呢？其實維度是過一個點能作多少條互相垂直的直線。在平面上，過一個點能做兩條互相垂直的直線，如圖2。那麼，在我們生活的三維空間呢，過一個點能做三條直線，如圖3。

好，了解了維度是怎麼來的之後，我們來了解一下豪斯多夫維數是怎麼計算的。先來看圖4，我們以相似比為 2 來切割第一條線段，最終得到兩條線段，怎麼算維數呢？怎麼將相似比和分割的條數聯繫起來呢？維數這樣計算出來，

神奇吧！就是 1 維平面。我們來看圖5，其中，有一個大正方形，我們按相似比為 2 來切割該正方形，最終，我們得到四個小正方形。維數即為

而這個「2」就是我們所知的平面的維度。那對於三維空間呢？如圖6所示，同樣以 2 為相似比，將這個長方體分為 8 塊，讓我們再一次見證奇蹟，維數為

如此神奇，3 的確是維度。

如此，我們得到維數的公式：

其中 n 為相似比，k 為分塊數。

那麼，我們來看一些經典的分形圖案。如圖7所示，為著名的科赫雪花，它的是在等邊三角形基礎上變形而成的，將每條邊分為 3 份，以中間一邊為等邊三角形的一邊，向外構造等邊三角形，再將那條邊擦掉，如此反覆，便形成了如圖7所示圖案。

▲ 圖7 取曲線的1/4, 再放大3倍, 結果看上去和原來曲線一樣

是時候計算豪斯多夫維數了，我們來看圖7的右邊的那張圖，在紅色橢圓的區域內，以3為相似比，分成4條邊，那麼它的豪斯多夫維數就是

這令人難以理解，它能在平面中被畫出，維度卻小於2，這個現象十分有趣。所以，我們看問題不能太過於簡單，要仔細地去證明。

那麼為什麼會出現分形維數呢？對於歐氏幾何中的整形而言，只需長度，面積，體積就能做測量，且不管怎麼處理圖形，摺疊也好，扭曲也好，它的維數是不會發生改變的。但是在分形中，這樣研究，似乎有些困難，因為它不規則。就像這科赫雪花，表面粗糙，由線段構成，所以它大於 1 維。可惜它還到不了 2 維，所以只能是一個非整數維數。

還有比較著名的分形圖案為謝爾賓斯基三角形，如圖8所示。

▲圖8 謝爾賓斯基三角形前 6 次迭代過程

它是通過不斷「挖掉」等邊三角形得到的，每個三角形都互相相似。同樣，我們來計算一下豪斯多夫維數，它是以 2 為相似比做出的，且做出了 3 個，所以它的維度

這個同樣是一個非整數的分形維度。

分形是是十分有趣的數學問題，在日常生活中也常出現分形，如閃電，植物等，見圖9。

圖9. 分形之美

在生活當中無處不在，我們所見的事物，很多被我們忽視的地方都與數學相關，分形只是其中一個，這些事物都有著美感。希望大家能夠用心去感受這些美，去體會數學的樂趣，生活的美麗。(完)

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