寶塔菜花
分形幾何藝術圖
寶塔菜花(也稱「羅馬花椰菜」)是一種長相奇特的蔬菜，含有豐富的維生素及礦物質，具有強身健體之功效，並具有很高的經濟價值。有趣的是，寶塔菜花由很多螺旋形小花組成，並以花球中心對稱成對排列，十分具有對稱美。它的結構屬於分形幾何，蘊含著自相似性，由於這一特殊性質，讓很多科學家為之著迷。
分形幾何創立於20世紀70年代，研究的是廣泛存在於自然界和人類社會中的，沒有特徵尺度卻有自相似結構的複雜形狀和現象，與旨在研究人為設計的直線、圓、正方體等規則幾何形體的傳統歐氏幾何不同。在自然界中，「雲彩不是球體、山嶺不是錐體、海岸線不是圓周」，分形幾何無疑是一門頗有發展前途的數學新分支學科。
自然界的眾多形狀都是不規則和支離破碎的。在對這些形狀的認識面前，傳統歐氏幾何顯得蒼白無力。對於大自然的這種挑戰，2000多年來，一代代數學家為之上下求索，探尋從歐氏幾何體系中解放出來的道路。終於在1975年，曼德布羅特發表了被視為分形幾何創立的標誌性專著《分形：形、機遇和維數》。從此，一門嶄新的數學分支學科——分形幾何學躋身於現代數學之林。
經過40多年的開拓和發展，分形研究不但在數學、哲學、物理學、經濟學、語言學、計算機科學等領域一展身手，甚至在電影、美術和書法等藝術領域得到廣泛應用，對現代科學產生了至為深遠的影響。美國物理學大師約翰·惠勒說：「可以相信，明天誰不熟悉分形，誰就不能被認為是科學上的文化人！」
由於不規則現象在自然界普遍存在，分形幾何成為描述大自然較普遍現象的一門幾何學。正如中國著名學者周海中所言：「分形幾何不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，從而改變了人們理解自然奧秘的方式；可以說分形幾何是真正描述大自然的幾何學，對它的研究也極大地拓展了人類的認知疆域。」
雖被譽為描述大自然的幾何學，分形幾何的本質卻是一種新的世界觀和方法論。它承認世界的局部可能在一定條件下或過程中，在某方面表現出與整體的相似性。此外，與傳統幾何學的研究對象為整數維數相比，分形幾何學的研究對象為分數維數，如0.54、1.26、2.78，等等——它反映了複雜形體佔有空間的有效性，是複雜形體不規則性的量度。順帶一提，分數維數是科學家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。事實上，分形幾何更加趨近複雜系統的真實屬性和狀態描述，更加符合客觀事物的多樣性和複雜性。
而分形幾何學的基本思想是：客觀事物具有自相似的層次結構，局部與整體在形態、結構、功能、能量、信息、時間、空間等方面具有統計意義的相似性，即自相似性。自相似性原理的引入使分形理論成為研究不規則形體的有力工具。例如，一塊磁鐵中的每一部分都像整體一樣具有南北兩極，如此不斷分割下去，每一部分都具有和整體磁鐵相同的磁場。這種自相似的層次結構，適當的放大或縮小几何尺寸，整個結構不變——有點像我們平時所說的「窺一斑而知全豹」。
分形幾何學作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科，讓人們重新審視這個世界——世界是非線性的，分形無處不在。這不僅可以改寫對現實世界的理解，也會加深人們對自然界中各種複雜現象的認知。
值得一提的是，分形幾何還對文化領域產生了重要影響。例如，上世紀70年代後期，分形藝術十分流行。尤其是曼德布羅特的集合圖，形成了一種文化符號，被大量印製在文化衫、帆布包等日用品上。世界頂級科學期刊《自然》曾評選出「2009年度十大科學圖片」，由數學「極客」丹尼爾·懷特運用計算機繪製出來的曼德布羅特集合三維圖位居第三。分形藝術中優美豐富的圖形還可以應用到各種布局設計中，如舞臺設計、園林設計、建築設計、器型設計等。分形藝術以一種全新的藝術風格使人們認識到，這一藝術和傳統藝術一樣，具有和諧、對稱等美學特徵。可以說，分形幾何搭起了科學與藝術的橋梁，也展示了當代文化藝術的風貌。
(作者系英國華威大學博士後)
經濟日報-中國經濟網