[遇見數學創作小組] 作者徐琳，數學教師。
今天的主題是幾何，大自然的幾何，一說到幾何，大家肯定不陌生，三角形，正方形，圓等，但是自然界中的形狀都是三角形，正方形和圓嗎，並不是，經典幾何學所描繪的都是由直線或曲線，平面或曲面所構成的各種幾何形狀，他們是顯示世界中物體形狀的高度抽象。伽利略說：大自然的語言是數學，它的標誌是三角形、圓和其他圖形。但是對於了解大自然的複雜性來講，歐幾裡得幾何學是一種不充分、不具有普遍性的抽象。
在 Mandelbrot 1975年出版的《大自然的分形幾何學》一書中，有這麼幾句話：「雲不只是球體，山不只是圓錐，海岸線不是圓形，樹皮不是那麼光滑，閃電傳播的路徑更不是直線。它們是什麼呢？它們都是簡單而又複雜的『分形』……」分形的提出是為了更好的去描述、解釋真實的大自然。也正因為此，Mandelbrot被稱為「分形之父」。
最著名的分形問題是海岸線到底有多長，Mandelbrot給出的答案是：海岸線的長度是不確定的！海岸線的長度取決於測量時的尺度，就好比同樣是一段路，大象和螞蟻測量的步數絕對差很多，這是因為大象忽略了細節，而螞蟻的路程遠大於大象，這好像又給龜兔賽跑一個更合理的理論依據。
如果你仔細看一下這幾幅圖，你會很快總結出來分形的特徵，那就是具有自相似性；具有無窮多的層次；和通常可以由一個簡單的，遞歸、迭代的方法產生出來。
簡單的、遞歸、迭代，只要你稍微熟悉些高中數學好像對這些定義就不陌生，沒錯！數列！如果說上面是圖形的迭代讓人很有距離感，那麼數字的迭代就會很親切。
第一次介紹分形是在高一講授數列極限的時候，我是以這樣一個問題引入：是否存在這樣一個圖形，具有有限的面積卻擁有無限的周長？當學生找不到答案的時候，此時我會帶著學生從一個正三角形(邊長為 l )開始，根據下列規則進行構造：
步驟 1: 將其每邊三等分；
步驟 2: 以中間的 l/3 段為邊向外作正三角形；
步驟 3: 將第二步中的 l/3 邊長去掉，得到一個新的多邊形。
然後把這個過程無限繼續下去.
接下來，計算一下無限次後的圖形周長和面積。
第1次分形後周長
第2次分形後周長
第3次分形後周長
……
第 n 次分形後周長
同理可得，第 n 次分形後面積
當n趨向無窮次周長與面積：
所以我們得到了無限次後的圖形周長是無窮大的，但是面積確是有限的。像這樣的圖形還有很多，我們把這類圖形叫做Koch曲線。同時可以得到數列極限的收斂與發散的條件。
上面邊兩張圖分別是公比 r>1, r<-1。
上面兩圖公比為 0<r<1, -1<r<0。
因此，我們總結出對於等比數列，當 |r|<1，數列收斂，lim a_n=Constant；當 |r|>1，數列發散，lim a_n=∞。
為了更好的理解這種迭代過程，下面會通過數據和圖形給大家一個直觀的感受。
分別選擇幾種常見的函數，作為迭代公式，在給定一個初始值的情況下，我們看一下迭代 10 次後的一個效果。
對於一次函數，如果係數大於1，則迭代結果越來越大，反之，對於
不管初始值在哪裡，10 次迭代後都接近 10，如果類比上面的等比數列，一次函數的斜率可近似看做等比數列的公比，這裡注意，一次函數中如果有常數項，則不是等比數列。但我們仍可以近似理解為比例，因為當 xn 無窮大時，常數項可以忽略不計。所以當 |r|<1，收斂；|r|>1，發散，似乎仍然有效。
但是當迭代包含平方，根式，分式等關係時，我們仍發現結果存在發散和收斂的情況。當我們觀察的函數不局限等比等差這種規範的關係時，給出任意非線性函數，以及不同的初始值，發現在某些情況下，不斷迭代的結果會趨向於一個定值，而這個值我們在數值分析中稱為不動點，不動點迭代（Fixed point iteration）指的是：選擇適當的初始值 x0，按照如下的迭代格式計算，
n=0,1,2...，如果數列 {xn} 有極限
則稱迭代是收斂的，x^* 是非線性方程的根和 φ(x) 的不動點。
那麼對於不同的函數，什麼樣的情況下收斂，我們可以通過迭代回形圖試著尋找一下。
以上兩種情況是收斂的，我們發現 φ(x) 在 x^* 附近較平緩；
以上兩種情況是發散的，我們發現 φ(x) 在 x^* 附近較陡峭。
如果結合我們之前總結的等比數列當公比,則數列有極限，類比到一般函數，此時的
，結合導數定義，因此我們可以聯想到或許當 |φ'(x^*)| <1時，函數 φ(x) 收斂且有不動點。
在得到不動點結論的過程中，我們並沒有嚴格的證明，更多的是一步步探索發現和總結，如何從問題的表向到本質，再從本質到外化，即從特殊到一般，再從一般理論到應用，這應該是發展的一般規律，也是學習的自然過程。
最後再回到分形，「分形不僅展示了數學之美，也揭示了世界的本質，還改變了人們理解自然奧秘的方式。」在分形的世界中，每個人都可以是藝術家。
如果給你這樣一幅畫，你會不會以為這是出自哪個抽象派畫家之手，但實際上這個形狀僅僅出自一個純數學的練習。Mandelbrot在TED演講中曾介紹過分形和混沌，他總結的最後一句話。
Bottomless wonders spring from simple rules,which are repeated without end. - Benoit Mandelbrot無邊的奇蹟源於簡單規則的無限重複。——本華·曼德博