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誰不知道熵概念就不能被認為是科學上的文化人，將來誰不知道分形概念，也不能稱為有知識。——物理學家惠勒
雖然惠勒的這句話目前並沒有達到標準，但是可以看得出，分形在他心中有著多麼崇高的地位。
所謂的分形，就是下面這些圖片的模樣。
分形不僅美，能引起「極度的舒適感」，而且蘊藏著高深的數學奧秘。今天，咱們來研究研究，到底什麼是分形。
分形的最早研究
20世紀初，英國數學家劉易斯·弗萊·理德查森（Lewis Fry Richardson）在研究英國海岸線的時候，第一次發現了分形的奧秘。他發現，一條海岸線的長度不是絕對的，它取決於你用什麼樣的尺子來測量。考慮到海岸線被衝刷成的不規則圖形，你採用的測量儀器越精細，這條海岸線就越長。
舉個例子：當你用一隻快艇繞島環形，測量出島的周長就是快艇行進的距離。但是，如果你用尺子去測量，就會發現島嶼的邊緣被海水侵蝕而凹陷，那麼就要把凹陷的長度算進去。如果你看得更加精細，發現即使是一個拳頭那麼大的巖石也有不規則形狀的凹陷，那麼還要計算這部分凹陷的長度。而且，當你把海邊的一塊巖石放大到足夠大，會發現它的邊緣和整座島的邊緣是那麼的相似！不考慮量子領域的問題，那麼如果測量得足夠精細，這座島的海岸線將是無限長的。這是一個悖論：有限的面積，卻有著無限的周長。
他的這個發現，和1904年是瑞典數學家科赫（Helge von Koch）提出的一個悖論。他提出：取一個三角形（雖然沒有規定，但通常默認為是正三角形），在每一條邊的兩個三等分點之間，接上一個邊長只有其三分之一的小三角形，如下圖所示。
這就是著名的科赫三角形，或者叫科赫曲線。如此無限循環，最終可以得到雪花的形狀。
和科赫三角形正好相反，波蘭數學家謝爾賓斯基在1915年提出的謝爾賓斯基三角形，則是將小三角形放在了內部。具體作圖過程我們不介紹了，大家一眼就能看出來。
在更早的1883年，德國數學家格奧爾格·康託爾提出了著名的康託爾集（最終和其他理論一起導致了第三次數學危機），也是一個分形。通過將一根線段三等分、刪掉其中一段，然後對新的兩根線段進行無限的重複操作就可以得到：
不過，直到1973年，芒德布羅（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學院講課時，才首次提出了分形的設想。
什麼是分形
所謂的分形，通常的定義是「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀」。
就像剛才說的海岸線的巖石，當你看得足夠細微時，它的每一個稜角都像是一座小島的海岸線。又如科赫三角形，你看到的每一個小三角形都附著在一個更大的、同形狀的三角形上，同時又被更小的三角形以同樣的方式附著。這種現象，被稱作自相似性。
實際上，我們在上小學的時候就接觸過一種分形——黃金分割。
想一想，黃金分割點的定義是什麼？是將一個整體分割的比例，使其分割後較小部分和較大部分的比值，等於較大部分和整體的比值。以下面的線段為例，C為黃金分割點，則BC:AC=AC:AB。黃金分割比例，大約是0.618。
想像一下，AC之間也有黃金分割點，BC之間也有黃金分割點，它們被分割後出現的新線段也有黃金分割點，可以無限分割下去。不僅僅是線段，長方形的寬和長的比也可以達到黃金分割比例。黃金分割在生活中非常常見，被認為是最優美的比例。
生活中的分形
實際上，分形不僅僅是數學家們一時興起畫出來的。在自然界中，分形可以說是隨處可見。比如我們常見的十字花科蔬菜，很多都是典型的分形結構。比如經常在介紹分形的文章中被提及的羅馬花椰菜——
還有我們常吃的菜花、西藍花，也都是分形的結構。
再比如葉脈，從主脈上分出了大量的側脈（或者叫粗脈），每一根粗脈上又會分出許多細脈。
又或者我們常見的樹木，從樹幹分出了樹枝，而每一根樹枝上又會分出大量的枝椏。如果你單獨觀察一根枝椏的話，你很難搞清楚它到底是「第幾級」的枝椏。
除了植物以外，分形在其他自然物質中也非常常見。比如剛才提到的科赫三角形，被認為無限延伸就會很像雪花。實際上，雪花也是一個分形。
遠古生物菊石，殼上的每一個腔體基本上都是前一個腔體的碳複製品，只不過比前一個小一點。
或者你乾脆拿出兩面鏡子，相對而立，你就會在任意一面鏡子裡看到無限的分形世界。
由此可見，分形在我們的現實生活中，可以說是隨處可見。
藝術中的分形
眾所周知，達·文西是在創作過程中最注重內涵的畫家，其中經常會涉及到黃金分割點，比如下面這樣著名的作品——
1820年，日本藝術家葛飾北齋創作了 《神奈川沖浪裏》，這是一幅色彩斑斕的海浪圖，海浪的頂部斷裂成越來越小的（自相似的）海浪，同樣是分形的完美展現。
甚至在你想像不到音樂裡，也有分形的藝術。在莫扎特、巴赫等人的音樂作品裡，人們都曾經找到過分形的痕跡。這種類型的音域的特點是，在不同的音域中同時以不同的節奏在不同的音域中重複出現的旋律或節奏主題。當然，音樂裡的分形不會像圖形裡一樣是無限的，但是在有限的循環中，我們依然可以感受到音樂的美。關於音樂和科學的關係，有機會我們會單獨來聊~
分形的減壓能力
分形的圖片看起來不僅美觀精緻，而且還有神奇的解壓效果，也就是網絡上常說的用語：「引起極大舒適感。」
當分形動起來，其引起人腦的放鬆狀態，甚至可以達到催眠的效果
分形的減壓效果不是憑空說的，還真有科學家做過相關的研究。他們給受試者觀看分形的圖片，然後對其腦部進行核磁共振的掃描，結果顯示：在合適的分維下（分形的維度，這裡不做介紹了），受試者負責調解情緒的海馬旁回區域會被激活。而這個部位，在聽音樂的時候也會被激活。
分形中的自然奧秘
如果你以為分形的出現只是為了讓你看著舒服，那就大錯特錯了。除了藝術和植物方面，分形還在經濟、醫學、地球物理學甚至哲學方面，給我們以深深的指導。
1978年，在分形的概念剛剛被提出後不久，就有人利用這個原理，在計算機上從三角形開始分形，最終創造了一個令人驚嘆的逼真的山脈圖像。
20世紀90年代，內森·科恩（Nathan Cohen）受到科赫三角形的啟發，僅僅用一根鐵絲和一把鉗子就製作出了一個更緊湊的無線電天線。如今我們的手機裡，也有類似的結構。
從經濟學家角度說，人類的經濟始終處於一個波動的狀態，每一次波動和以往的波動圖像都很相似，可以看作是一種分形。這告訴我們：循環往複本就是經濟的常態，它不可能永遠持續走高。
這也是很多哲學家所信奉的準則：世界本就是在循環之中，大中有小，小中有大，給我們以巨大的啟示。
說到這裡，我想到了《老子》中的一句話：「道生一，一生二，二生三，三生萬物。」人類對於自然界的深奧智慧早就有了深刻的思考，分形也不例外。從幾千年前到現在，人類都能感受到分形之美，只是表達的方式不同。
除了分形之外，大自然暗示給我們的深奧智慧還有很多。以人類的智力來看，我們恐怕還需要探求很久吧！