分形世界(上)

2021-01-21 木瓜同學的窩

 嗯，今天我們來聊聊分形問題。

 我們還是從一些攝影作品開始吧：

     

                     

 從這些圖形我們可以看出，自然界中很多圖形的在子結構上都具有一定的相似性。而這種相似性就給予了我們通過無限次的迭代產生子結構來模擬出自然界的可能性。而在數學中，這種方法，往往被稱作分形。

 從上述圖形中，我們通常可以歸納出分形圖形三個有趣的性質：子結構相似性，分形維度性以及無處可微性（不用試圖從書中找這三個性質…這些都是根據wiki翻譯出來的…）。

 首先先說子結構相似性。來自於wiki的表述是：如果我們對圖形細節進行不斷放大，我們並不能找出新的結構，相同或相似地結果不斷地重複出現，就像下圖：

 啊，不對，是這張：

 而關於分形維度性，我們則可以思考下面這個問題：

如果一條線段是一維圖形，沒有面積的屬性。但是如果在這條直線的一半處對摺，然後在分成的兩小段上繼續分別選取一半的位置對摺，不斷重複，就像下圖醬：

 那麼試問無窮多次迭代後，這個由無窮多個有限長度組成線段圖形是否可以填滿某個圖形？我們是否還可以將這個圖形視為一維（不具有面積屬性）的呢？這時候我們就需要引入分形維度來將其與拓撲維度作區分。而分形維度大小會根據其迭代次數介於1維與2維之間（神奇的分數維度圖形）。而面積屬性通常歸屬於拓撲維度的討論範圍，並不在這裡分析。

 但是我們依舊可以猜想，進行如下圖方式的迭代，我們已知這條曲線可以覆蓋整個四邊形（參見皮亞諾曲線的證明），那麼我們是否可以根據線段長度的極限值推算出四邊形的面積呢？

 最後，關於連續不可微性（是不是有同學想到了一個叫張宇的人）。我們直接舉科赫雪花來說，首先根據迭代規則，我們可以發現圖形的邊界的連續性，然而我們卻無法找到一條可微分為直線線段的邊界。這樣的性質也註定我們無法用傳統的微分來計算分形曲線的長度性質。

 因而在以往經驗中，這種無法通過微分解決的分形計算通常通過分析遞推公式，然後求極限的思路來進行計算。（還記得初中數學競賽題裡的「計算雪花大小」嗎，就是科赫雪花求面積的問題）。然而我們卻很難真正分毫不差地將圖形繪製出來。隨著計算機的發展，今天我們有更多的可能性繪製出來這些圖形。例如蕨類植物，雪花等。

 而如何通過Python代碼繪製出這些美麗的分形圖，將在下周為大家帶來。



參考文獻：

[wiki] https://en.wikipedia.org/wiki/Fractal

[走進混沌系列]

http://blog.sciencenet.cn/home.php?mod=space&uid=677221&do=blog&id=601957

[maxtrix67的博客]

http://www.matrix67.com/blog

[用python做科學計算——分形與混沌]

http://old.sebug.net/paper/books/scipydoc/index.html


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