誰不知道熵概念就不能被認為是科學上的文化人，將來誰不知道分形概念，也不能稱為有知識。
——約翰·阿奇博爾德·惠勒（John Archibald Wheeler）
約翰·阿奇博爾德·惠勒，美國物理學家、物理學思想家和物理學教育家，1933年獲得約翰斯·霍普金斯大學博士學位，是為數不多的同時對量子論和（廣義）相對論有深入研究的物理學家之一。
他留給世人的寶貴財富是關於未來物理學的「三個問題」：存在如何，量子如何，觀察如何創造？
與此同時，他提出了解決問題的「四個沒有」的原則和「五條線索」。
這些思想雖然已經構成了一個龐大的系統，各個部分之間有著緊密的聯繫，但是還沒有形成完整的體系，依然包含著眾多的猜想和可能性。
這些猜想和可能性是其魅力的來源：不是給出了答案，而是向我們提出了問題。
正如其《我們的宇宙：已知與未知》一書中指出的，茫茫宇宙中發生的奇蹟，勝過人們在「最狂野的夢裡所能想像出來的最燦爛的焰火」。
與其同時代的物理學家相比，他的名氣遠遠不如他的博士後合作導師玻爾，他的同事愛因斯坦，也遠遠不如他的學生物理頑童費曼。
在霍金流行全球之後，很多人都知道了「黑洞」的存在，但是很少有人知道這個詞出自惠勒之手。這是一位默默無名卻有偉大貢獻的物理學家。
那麼這位老先生何以對熵和分形概念如此重視呢？
上周我們大致了解了什麼是熵，這周就一起來學習一下分形吧。
分形，具有以非整數維形式充填空間的形態特徵。
通常被定義為「一個粗糙或零碎的幾何形狀，可以分成數個部分，且每一部分都（至少近似地）是整體縮小後的形狀」，即具有自相似的性質。
分形（Fractal）一詞，是法國數學家伯努瓦·曼德爾布羅（Benoit Mandelbrot）創造出來的，其原意具有不規則、支離破碎等意義。
數學家很早就認識到，在自古以來構成數學和物理學基礎的經典歐幾裡得幾何的規範邊界之外還有幾何形狀。
我們許多人曾經痛並快樂地學習的傳統知識框架認為，所有的線和面都是光滑流暢的。
作為現代分形概念的一部分，產生中斷和褶皺概念的新奇觀念被數學家從嚴格數學中延伸出來，但在真實世界中並沒有被普遍認為起著重要作用。
直到伯努瓦·曼德爾布羅提出了重要的洞見：褶皺、中斷、粗糙和自相似性，即分形，事實上是我們生活的複雜世界的普遍特點。
很長一段時間以來，「自然哲學」一直是人類智力勞動的重要領域，幾乎所有人都熟悉西藍花、血管網絡、小溪、河流和山脈，這些現在都被認為是分形。
然而，幾乎沒有人思考過它們的結構和組織的普遍規律，也沒有用數學語言來對它們進行描述。
就像更重的物體下降速度更快這樣的亞里斯多德式的錯誤假設一樣，根植於歐幾裡得幾何的柏拉圖式的平滑理想狀態在我們的靈魂深處根深蒂固，我們必須要等待很長時間，等到某個人真正檢驗其是否屬實。
實際上，在自然界中，幾乎沒有什麼東西是平緩的——大多數事物都是有褶皺的、不規則的、細圓齒狀的，通常都以一種自相似的形式存在。
大多數自然物體都沒有絕對的客觀長度，在陳述測量結果時，很重要的一點是要報告解析度是多少。
人們為何花了超過2000年的時間才意識到如此基本、現已顯而易見的事情呢？
這很可能源於二元論，隨著我們逐漸從與自然世界的緊密聯繫中分離出來，越來越遠離決定生物學的自然之力，這種二元論開始出現。
當我們發明語言，學習如何利用規模經濟的優勢，組成社區，開始製作手工藝品時，我們事實上改變了我們日常生活及其周邊環境的幾何形狀。
在設計和製造人類工程學產品時，無論是原始的罐子和工具，還是現代化的複雜汽車、計算機和摩天大樓，我們都使用並且追求直線、平滑曲線和平滑表面的簡單性。
量化測量的發展及數學的發明，尤其是歐幾裡得幾何的理想化範式，完美地展現了這一點。
這種與我們創造的手工藝品世界相適應的數學，伴隨我們從一種哺乳動物進化到社會智人。
在這個人工製品的新世界中，我們不可避免地習慣於通過蒙蔽我們的歐幾裡得幾何（直線、平滑曲線和平滑表面）的濾鏡觀察世界，至少科學家和技術專家如此。
而我們所處的環境是一個混亂、複雜、令人費解的世界，這在很大程度上是留給藝術家和作家想像的領域。
儘管度量在這一新鮮的、更加常規的人工世界中扮演著核心角色，但它具有歐幾裡得幾何簡單明了的特點，因此無須擔心精度等刁鑽的問題。
在這個新世界中，長度便是長度，僅此而已。
然而，在我們周圍直觀的「自然」世界中卻並非如此，它高度複雜，而且被褶皺、波紋和小褶皺主導。
正如曼德爾布羅簡單明了地概述：「平緩的形狀在野外很少見，但在象牙塔和工廠中極為重要。」
曼德爾布羅熟悉充滿抽象、褶皺、非歐幾裡得曲線和平面的奇怪世界。
他的偉大貢獻在於，他意識到學術數學家一直不那麼認真應對的似乎與現實沒有關聯的奇怪幾何圖形事實上和現實緊密相關。
他意識到這些論點具有普遍意義，遠遠不僅是邊界線和海岸線，而且可以延伸至任何可測量的物體，甚至包括時間和頻率，這些例子包括我們的大腦、弄皺的紙球、閃電、河流網絡及心電圖和股市等時間序列。
據曼德爾布羅自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個寂靜夜晚，他在冥思苦想之餘偶翻他兒子的拉丁文字典時，突然想到的。
他想用此詞來描述自然界中傳統歐幾裡德幾何學所不能描述的一大類複雜無規的幾何對象。
例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮雲，九曲迴腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花繚亂的滿天繁星等。
它們的特點都是極不規則或極不光滑，直觀而粗略地說，這些對象都是分形。
褶皺中斷而非光滑流暢，這也正是你我生活的這個世界的特點。
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