正四面體的幾個性質

2021-01-13 數學好玩


正四面體是五種正多面體中的一種，有4個正三角形的面，4個頂點，6條稜。正四面體不同於其它四種正多面體，它沒有對稱中心。正四面體有六個對稱面，其中每一個都通過其一條稜和與這條稜相對的稜的中點。正四面體是高中數學立體幾何中最重要的一個多面體，只要掌握了下面幾個性質，將會大大提高同學們的解題速度。

設正四面體ABCD的稜長為a，則存在著以下性質：

性質1．正四面體的3對異面稜均互相垂直，任意一對異面稜之間的距離均為

性質2．正四面體的高為

性質3．正四面體的外接球的球心與內切球的球心O重合且為正四面體的中心.

性質4．正四面體內接於一正方體，且它們共同內接於同一個球，球的直徑等於正方體的體對角線．

性質5．正四面體的內切球半徑為

，

外接球半徑為

，

且有

.

性質6．正四面體的全面積為

體積為


性質7．正四面體底面內任一點O到三個側面的距離的之

；

正四面體內任意一點到四個側面的距離之和

五種正多面體圖形如下：




相關焦點

  • 正四面體與截角四面體可以鋪滿空間
    （1）準備一個正四面體，先確定出它每條稜上的兩個三等分點。那麼，與某個頂點相鄰的三等分點就有三個（下圖中用同一顏色表示），用一個過這三點的平面把一個角（三面角）截去（或砍去）。正四面體有四個三面角，都這樣砍去，便得到所謂的阿基米德體之一 —— 截角四面體。下面兩圖簡單說明了上述過程。截角四面體有四個正三角形面（新截出來的）和四個正六邊形面（原來正三角形面變來的）。
  • 正十二面體 | 正方體 | 正四面體 | 之間的關係
    幾分鐘便可讀完，輕鬆學數學。 今天講如標題所說的三種正多面體之間的關係，這些關係很重要，很有趣。然後我們便得到幾種複合體。複合體相對有些複雜，但我用簡單易懂的語言，主要是用適合人們思維的方式來講解，所以相信你一定可以看懂。
  • 關於正四面體的總結
    而解決這些問題，正四面體就是一個很好的數學模型，正四面體的稜長、表面積、體積、高、斜高、外接球半徑、內切球半徑的熟練推導和廣泛應用，一直是高考的熱點。比如，高考熱點正三稜錐，就是改變正四面體的高，研究方法與正四面體完全類似。下面，就跟DalenHotel一起，帶你玩轉正四面體。
  • 《正四面體》探究式學習
    學生通過對正四面體的表面積，體積，正四面體的外接球和內接球的探究發現規律，掌握解決空間幾何體的表面積，體積，外接球，內切球的相關計算。第二、思路說明學生通過製作幾何模型，研究正四面體的表面積，體積，外接球，內切球的相關計算。
  • 正多面體啟蒙系列之正四面體,這個漂亮的形狀有哪些秘密?
    上個星期寫了一篇帶豆豆認識正八面體的文章，立了個小小的flag：要把幾個正多面體都給豆豆好好講一講，並且把我們討論的內容記錄下來，爭取把「正多面體啟蒙
  • 面心立方中正四面體和正八面體空隙的應用
    比如，面心立方晶胞中的正四面體和正八面體空隙，在昨天發布的視頻中，已經得出，原子數：正八面體空隙數：正四面體空隙數 = 1：1：2。面心立方最密堆積的典型代表是Cu。一個Cu晶胞有4個Cu原子，也就是說，一個晶胞佔有4個正八面體空隙和8個正四面體空隙。你可以在上圖中把它們一個個標出來。不過，如果我們借用別的知識點，就不必額外學習和記憶。NaCl晶胞，熟悉得不能再熟悉了吧。
  • 如何用兩分鐘快速折一個正四面體
    本周關於正四面體的文章發出後不久，就有讀者問：豆媽，正四面體怎麼折呀？我是不是錯過了什麼？
  • 四面體的稜切球與稜旁切球
    （2）從以上必要性的證明可以看出：在四面體中，只要有三個面其內切圓在公共稜上的切點重合，則此四面體就有稜切球。例2  若四面體存在稜切球，且稜心到各頂點連線相等，則此四面體是正四面體.證: ∵稜切球球心向各面作垂線，則垂足是各面的內心。
  • 亦明圖記:SolidWorks繪製正四面體和正八面體,用拉伸凸臺命令
    3d正四面體和正八面體模型：使用SolidWorks2014繪製；一、正四面體的繪製過程：1、在上視基準面上繪製草圖 多邊形+中心線：多邊形邊數3；邊長100；三條中心線連成三角形的右下頂點與多邊形的右上頂點重合
  • 北京大學在球四面體填充研究方面取得新進展―高校科技―中國教育...
    四面體是最簡單的柏拉圖實體，由於缺乏反對稱性使其在填充中呈現出十分獨特的性質，因此受到廣泛關注。正四面體的最密填充也是希爾伯特第18問題的一部分，目前得到的正四面體最高填充率為4000/4671（約為0.8563）。然而值得注意的是，實際四面體顆粒的邊緣均有不同程度的圓角。
  • 四面體與八面體空隙的幾何分析
    利用三維虛擬技術從幾何學角度較為詳細分析了立方與六方最密堆積中的正八面體與正四面體空隙的特點，以及體心立方堆積中變形的八面體與變形的四面體空隙的特點。演繹直觀形象、生動，想像力豐富，富有啟發性。從晶體中原子排列的剛球模型和對緻密度（緻密度指晶胞內原子球所佔體積與晶胞體積之比值）分析可知，即使是最密堆積，金屬晶體中依然存在空隙，這些空隙對金屬的性能有重要影響。
  • 晶體結構中的八面體與四面體空隙
    晶體結構中最常見的空隙是八面體空隙（圖1、2）和四面體空隙（圖3、4）。八面體空隙由6個原子圍成，四面體空隙由4個原子圍成，若設金屬原子的半徑為rA，空隙能容納的最大外來原子半徑為rB，利用幾何關係可求出正八面體與正四面體空隙的rB/rA的比值分別為0.414，0.225。
  • 一張正方形的紙可以折出正四面體,數學老師才知道的秘密
    其實很好回答，現實生活中所見的，或者是剪紙，甚至數學老師上課沒有工具了，都可以用一張紙來表現，講個故事先，我們高中的數學老師需要一個四面體，怎麼辦呢？我們又沒有，更不知道怎麼做，老師又忘記拿教具，難道就這樣錯過？我們的數學老師怎麼可能就輕易放棄，說著就拿起一張紙一會功夫就用紙折了一個四面體，同學們就像看魔術一樣，簡直不敢相信。為了紀念我的高中數學老師，今天把這手絕活教給大家！
  • 勒洛三角形,邁納斯四面體
    畫一個三角形，然後分別以三角形的三個頂點為圓心，三角形的邊長為半徑畫三個圓，這三個圓相交的部分就被稱為勒洛三角形。由勒洛三角形構成額三維立體結構改良後可以得到邁斯納四面體，將書本放在邁斯納四面體上移動書本，書本可以平滑額移動，不會出現顛簸感，和在普通的圓球移動差不多，把水放在邁斯納四面體上，水杯可以平穩的移動，杯子裡的水也不會灑出。
  • 四面體的質心在哪兒?
    幾分鐘便可讀完，輕鬆學數學。 特別聲明，本人未曾授權任何網站(包括微博)、公眾號或其他什麼號轉載北京邵勇原創的「數學教學研究」公眾號的內容。建議您一定直接關注本公眾號(sx100sy)，這樣有什麼問題可以留言交流和發消息，我會誠懇回復。
  • 曲線救國,直求四面體的外接球難?不妨試試把它放到長方體中
    本題選自2019年高考真題全國1卷理科，特分析如下：四面體的外接球問題模型較多，本文，我將給大家分享幾類能夠速解的模型。第一類：牆角四面體，題目特點，會出現三垂直，此類四面體可以放入長方體或者正方體中；第二類：四個面均為直角三角形的四面體，此類四面體可以放入長方體或正方體中，球心在最長邊的中點處；第三類：
  • 23.認識正八面體
    ，每一種角度都能使我們更了解它．從展開圖建構模型，使我們的注意力集中在面的形狀與在一個頂點相會之面的數目．但是當你做好模型後，正八面體的其他性質就顯而易見了．想像一下將正八面體水平切成兩半，切面通過A、B、C
  • 正四面體的阿里巴巴
    如果大多數公司只是點，或者有一些大的公司是一個面，阿里巴巴已經成為一個精緻的正四面體。對，你想的沒錯，就是無堅不摧的金剛石。【第一個面】一家與國家同呼吸共命運的國民企業在最近公布的財報中，阿里巴巴實現了全球首個1億美元經濟體的目標，但利潤卻大幅下降。
  • 正四面體性質及其應用
  • 高中:四面體體積最大時求外接球半徑?關鍵找球心,它們什麼關係
    找球心轉化找它所在直線要想找到四面體的外接球的球心，就要先找到該四面體的外接球的直徑所在的直線，要想知道該四面體的外接球球心所在的直線，我們就要知道四面體與該四面體的外接球所在直線的位置關係。四面體和它外接球球心所在直線的位置關係四面體的四個面都是三角形，也是椎體的一種。因為它的四個頂點均在外接球上，所以每一個面的三角形都對應一個球截面，即圓面，所以該四面體上的每一條邊都是它所對應圓上的弦，也是該四面體外接球上的弦。