正四面體與截角四面體可以鋪滿空間

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上一期講了一種空間密鋪問題。本期再來講一種。空間密鋪除了正方體密鋪外，大都不太好想像。所以，我還是沿用上一期的講法：「構造法」。

（1）準備一個正四面體，先確定出它每條稜上的兩個三等分點。那麼，與某個頂點相鄰的三等分點就有三個（下圖中用同一顏色表示），用一個過這三點的平面把一個角（三面角）截去（或砍去）。正四面體有四個三面角，都這樣砍去，便得到所謂的阿基米德體之一 —— 截角四面體。下面兩圖簡單說明了上述過程。截角四面體有四個正三角形面（新截出來的）和四個正六邊形面（原來正三角形面變來的）。

我們姑且把這個綠色的截角四面體稱作「綠寶石」。

（2）把開始那個正四面體取它的反體，即下圖所示（正四面體的反體是把正四面體的對偶多面體放大後得到的；而正四面體的對偶多面體仍然是一個正四面體，它是以原正四面體各面中心為頂點的多面體）。同樣地，取各稜的三等分點，與前面做法一樣，於是，我們便得到另一個截角四面體，本文暫稱其為「藍寶石」。示意圖如下面兩圖所示。

（3）一共切下來四個綠色正四面體和四個藍色正四面體，這八個正四面體一樣大小。我們留下它們各一個，後面有用。

（4）把「綠寶石」和「藍寶石」做平移變換（不能有任何其他變換）並聚攏，如下圖所示。最終讓它們以正六邊形面相貼合，得到一個組合體。過程大致如下圖所示。

（5）這個組合體看上去有些奇怪，但沒有關係，我們下面給它補上兩塊東西。把前面保留下來的綠色和藍色各一個小正四面體分別貼放到組合體的左下角和右上角的正三角形面上。於是便得到下面的立體。

上圖這個立體是個什麼立體？應該容易看出來的。對，它是一個平行六面體。得到這個平行六面體非常重要。有了這個平行六面體，我們就可以用它進行複製從而鋪滿整個空間。要求在鋪的過程中，一個平行六面體的面要與另一個平行六面體的面完全重合地貼合在一起。能夠這樣做是因為這個平行六面體的每個面都是一樣的。這種一樣表現在兩個方面：不僅都是有一個角是60度的菱形，而且這個菱形都是由一個正六邊形和相對的兩個正三角形組合而成且正六邊形的邊長與正三角形的邊長相等。這樣一來，任意兩個這種平行六面體，只要面與面完全重合，面與面上的稜也完全重合。這為後面的性質打下基礎。

（6）我們研究這種空間密鋪，是因為它具有一些特殊的性質。下面我們用四個這種平行六面體拼成一個「田」字形，如下圖所示（為了看得清楚，讓它們之間留有一些距離）。觀察每個平行六面體中標以紅色的線段，其中三條是三個截半四面體的條一條稜，另一條線段是一個正四面體的一條稜。這四條紅色線段應該在拼接好後是重合在一起的。這說明一條稜的周圍連接著一個正四面體和三個截角四面體。其他稜也一樣都是這種情況。也就是說，用這兩種立體鋪滿的空間，它的每條稜的情況都是相同的。

（7）再來觀察每條稜連接著的正多邊形是什麼情況。可以看出，每條稜連接著2個正三角形和2個正六邊形。

（8）若我們要求在用正多面體和（或）阿基米德體密鋪整個空間時，每一個稜周圍連接著的正多邊形完全一樣，則我們將得到五種可能情況。昨天講了一種，是由正八面體和正四面體鋪成。今天又講了一種，是由正四面體和截角四面體鋪成。第三種全由正多面體——正方體構成，是最簡單的一種，可以不用講。第四種是由一種阿基米德體——截角八面體獨自鋪成。第五種是由正八面體和截半八面體（也叫做截半正方體，因為把正方體截半所得與把正八面體截半所得是同一種阿基米德體） 鋪成。後兩種以後陸續講。