正十二面體 | 正方體 | 正四面體 | 之間的關係

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今天講如標題所說的三種正多面體之間的關係，這些關係很重要，很有趣。然後我們便得到幾種複合體。複合體相對有些複雜，但我用簡單易懂的語言，主要是用適合人們思維的方式來講解，所以相信你一定可以看懂。

（1）下圖是一個正十二面體（上半截6個正五邊形面被塗以藍色，以增加正十二面體的立體效果，所以看上去是不是像個小房子，只是不是方方正正的那種）。正十二面體有20個頂點（用V表示），30條稜（用E表示），12個面（用F表示），V、E、F滿足歐拉公式：V-E+F=2。

（2）上圖中，我們把正十二面體的20個頂點塗以四種不同的顏色：紅、黃、綠、藍，每種顏色五個點。我們選擇一個正五邊形的5個頂點（這裡選擇了靠上的面）並塗以一種顏色（這裡是塗以紅色）。我們就從這個選擇開始進行下面的研究。這5個紅點是一個正五邊形的頂點，它們位於一個平面內，可以算做一層。我們暫時稱這一層為「紅點層」。其他15個頂點中離這5個塗以紅色的頂點最近的頂點有5個，它們分別與5個紅色頂點有稜相連接。我們給這5個點塗以黃色，它們也位於一個平面內，我們把它們算做一層，稱其為「黃點層」。黃點層與紅點層是互相平行的。黃點層位於紅點層的下方，如下圖所示。同理可以在黃點層的下方定義一個「綠點層」，剩餘的10個頂點中有5個頂點（上圖及下圖中綠色點）位於這一層上。最後定義「藍點層」，它是最後5個頂點（圖中藍點）所在的平面。我們這裡不厭其煩地把這些點分層，是為了下面說明問題的方便。下圖所示就是這四個層，它們都是互相平行的（為清楚起見，原圖中上半部分的6個藍色面被隱藏了起來）。

（3）我們需要先給上面四組共20個點命名。如下圖所示，5個紅點分別命名為R1，R2，R3，R4，R5（R源自「紅色」的英文「Red」）；5個黃點分別命名為Y1，Y2，Y3，Y4，Y5（Y為「Yellow」的首字母）；5個綠點分別命名為G1，G2，G3，G4，G5（G來自Green）；最後，5個藍點分別命名為B1，B2，B3，B4，B5（B←Blue）。

（4）我在幾年前的一篇文章中講過正十二面體中存在著正方體（正方體的8個頂點當然要是正十二面體的頂點），下圖中的綠色正方體便是全部5個內接正方體中的一個。注意，下圖中正方體的頂點G3是凸向我們眼睛的；我們可以看到的是前面（R2-R5-G2-G3），右側面（R2-G3-B2-Y1）和下面（G3-G2-B4-B2）。

（5）我們知道，在一個正方體內部存在以正方體頂點為頂點的正四面體。那麼，如果在上圖中這個正十二面體內接的正方體中畫出一個內接正四面體，則這個正四面體的4個頂點一定是上面所說的四種不同顏色的頂點，或者說它的4個頂點分別位於上面所定義的四個顏色層中。如果我們選中正方體的某個頂點為內接正四面體的一個頂點，則這個正四面體就是完全確定的。比如下圖中，我們讓正四面體過紅點層中的頂點R2，則線段R2-G2必定是這個正四面體的一條稜，其他5條稜分別是：R2-B2，G2-B2，Y2-G2，Y2-R2和Y2-B2（下圖中的橙色線）。注意，我是事先設計好了這些頂點的編號，使得一個內接正四面體的編號除顏色標誌外，都是同一數字，比如這裡的正四面體R2-Y2-G2-B2的四個代表顏色字母的後面都是「2」。

（6）我們把正方體隱藏起來，以突出這個正四面體，並把它的面塗以顏色，如下圖所示。它的四個頂點分別是：R2（紅色），Y2（黃色），G2（綠色），B2（藍色）。確實，四種顏色都齊全了。

（7）正十二面體的完美對稱性使得我們下面的操作是可取的，並且是正確的。我們對這個正四面體作變換。想像正十二面體的這樣一條對稱軸，即經過正五邊形R1-R2-R3-R4-R5的中心和正五邊形B1-B2-B3-B4-B5的中心的直線。讓這個正四面體繞著這條軸逆時針旋轉，讓頂點R2轉到頂點R3的位置，那麼，其他三個頂點Y2，G2和B2則分別轉到Y3，G3和B3的位置。從而，以R3，Y3，G3和B3這四點為頂點的四面體一定是一個與原四面體R2-Y2-G2-B2全等的正四面體。於是，若把原正四面體R2-Y2-G2-B2也算在內，則一共可以得到5個全等的正四面體。①R1-Y1-G1-B1 ②R2-Y2-G2-B2 ③R3-Y3-G3-B3 ④R4-Y4-G4-B4 ⑤R5-Y5-G5-B5 。如下圖所示。

（8）把上述5個正四面體同時畫在一個正十二面體之中，則這5個正四面體必定互相交叉和穿過，則它們一起構成一個複合體（沒有固定的名稱，暫叫做「5個正四面體的複合體」）。這個複合體一共有4×5=20個頂點，它們正好就是正十二面體的20個頂點。

（9）回過頭來再看下面這個圖形。

我們知道，正方體有8個頂點，上圖中給出了以R2，Y2，G2和B2這4個頂點為頂點的正四面體：R2-Y2-G2-B2（上圖和下圖中的橙色）。另外四個頂點則可以連接成另外一個正四面體：R5-Y1-G3-B4（下圖中粉色）。

隱去正方體，突出這個粉色正四面體，如下圖所示：

（10）這一對正四面體的複合體實際上是以前我們講過的「八芒星」。兩個正四面體的公共部分是一個正八面體，相當於把下圖中的8個「犄角」（其實是小正四面體）砍掉所剩餘的部分。

（11）我們在前面第(7)和(8)條中講了5個正四面體，每一個都有一個與它相反的正四面體（正像這裡的粉色正四面體與橙色正四面體相反一樣）。所以，實際上，我們在正十二面體內部可以作出10個不同的正四面體，相當於五個八芒星。正十二面體的每個頂點都是某兩個正四面體的頂點（即每個頂點被使用兩次）。於是，由這10個正四面體也可以構成一個複合體（暫時稱為「10個正四面體的複合體」）。

（12）本期內容中出現了三個複合體。除上圖的八芒星比較容易畫出來外，另外兩個（5個正四面體的複合體及10個正四面體的複合體）則就不太容易畫出了。另外，前面提到的正方體，它的一條稜（比如R2-R5）是正五邊形面的對角線，這條稜繞著前面說過的那條對稱軸轉動，一定能夠到達其他4條對角線的位置，則這個正方體也跟著轉動到4個新的位置，這四個位置都是正十二面體內接正方體的位置。所以，一共是五個不同的正方體，它們也構成一個複合體。製作上面所說這三種比較複雜的複合體，可以採取細繩構造法，即先構造一個剛性的正十二面體框架，然後在它的20個頂點之間連線。您可以嘗試一下。

本期內容就講到這裡吧。總之，正十二面體與正方體及正四面體之間存在著上面所說的這些有些複雜的關係。世界的構成很奇妙，數學就是要把它們搞清楚。