五年級奧數:十二面體

正十二面體是所謂「柏拉圖立體」（Platonic solids）的5種正多面體之一。其他4種為正四面體、正方體、正八面體與正二十面體。

這些立體的每個面都是正多邊形，每個頂點與其他的頂點看起來都一樣。正十二面體有12個面，每一面都是正五邊形。曾有人利用12面，每面代表一個月，做成年曆。

以正十二面體為基礎，還可以製作出外形非常吸引人的星狀體。圖2是正十二面體展開圖的一半。在紙上或紙板上完成圖形之後，只要把紙疊在一起，用圓見的針尖穿刺各個頂點，就可以複製此圖形。

（1）畫出一個大圓。

（2）由中心O畫5條線至圓周，即OA、OB、OC、OD、OE，夾角都是72°。

（3）將AB、BC、CD、DE與EA連線，形成正五邊形。

（4）畫出ABCDE所有的對角線。這些對角線會在中心形成較小的五邊形PQRST.這個五邊形將是正十二面體中的一面。

（5）現在畫出PQRST的對角線（以虛線表示），並作其延長線，以形成其他小五邊形的邊。

（6）用穿刺卡片紙的方法複製所需要的平面圖。

（7）在畫好的平面圖中加上畫斜線的粘貼部分，如圖2所示。

（8）仔細剪下平面圖，並在所有折線（例如PQ）處用筆或刀背劃出刻痕，以便於摺疊。

（9）最後用速幹膠粘合。

在製作過程中要力求精確，否則最後的模型會無法嵌合在一起。

在完成正十二面體之後，只要在上面加些尖角，就成了絕佳的聖誕節飾品（圖3）。

這些尖角呈五面金字塔形，金字塔的每一面都是與正十二面體展開圖中APQ相等的等腰三角形。

這個金字塔的展開圖很簡單：先畫一個半圓，半徑與形成正十二面體的五邊形的對角線相等，將半圓分成5等分，夾角為36°，如圖4所示。

加上粘貼部分，並在折線處刻下痕印。總共需要12個尖角，因此在複製其他尖角之前最好先做一個，看看是否能與正十二面體接合得很好，然後再複製其他的尖角。

完成模型之後，你應該可以發現相鄰尖角的面都位於同一平面，從而形成五角星形。