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今天要講一講大星狀十二面體及其製作。
本期內容與上上期內容有關。在那一期中，我們學會了手工製作大十二面體，即下面這個立體（兩個不同角度拍攝）：
本期所講大星狀十二面體可以在大十二面體的基礎上製作完成。（上圖的大十二面體是我本人親手製作；本期下面製成的大星狀十二面體當然也一定是我本人親手製作。不親手製作那是不能隨便開講的！）
先簡單說一說這個大十二面體。如果我們把下圖左圖大十二面體的20個倒三稜錐空間都填平，就將得到右圖所示的正二十面體。下圖即是大十二面體（左）與正二十面體（右）的對比。左圖是實拍的，因鏡頭與立體較近，有視角，所以，中間一圈只照到四個三角形，而右圖是平行投影，所以中間一圈就是五個三角形（一圈十個三角形數量的一半）。（有關正二十面體的知識內容，本公眾號以前講過很多。著名的黑白足球就是通過對正二十面體進行截角而得。）
下面兩圖所示均為正二十面體。觀察發現，正二十面體是由十二個全等的正五稜錐側面[比如下圖中的H-ABCDE(綠色)和E-AHDGF(藍色) ] 相互交錯扣在一起而構成。相鄰兩個這樣的正五稜錐側面共用兩個正三角形面（比如下圖中H-ABCDE(綠色)和E-AHDGF(藍色)這兩個正五稜錐側面的公共部分是三角形面AEH和DEH）。還可以說，每個正三角形面一定是某三個正五稜錐側面的公共部分（用集合的語言來說，就是交集）。
正二十面體中可以找到（只要看出來就算）的正五稜錐側面一共有12個（對應於正二十面體的12個頂點），它們的底面都是正五邊形，比如圖中的正五邊形ABCDE、AHDGF。把這12個全等的正五邊形「星化」，即每條邊向兩頭延長、相交，就將得到12個全等的五角星。由這12個五角星就圍出一個新的立體圖形，它就是大星狀十二面體，如下圖所示。這裡先給出製作成果照片，後面我將逐步講解製作原理和過程。
（非常漂亮的大星狀十二面體手工製作模型 | 邵勇拍攝）
這個大星狀十二面體就相當於在下圖（右圖）所示的正二十面體的基礎上，在每個正三角形面的上方豎起一個正三稜錐而得到。
這個正三稜錐的側面是等腰三角形，等腰三角形的底就是正二十面體的稜，兩個底角都為72°（當然頂角就是36°）。這樣的正三稜錐是比較「尖」的。
下面我們就在大十二面體（下圖左圖）的基礎上製作這個大星狀十二面體（下圖右圖）。注意它們的大小，大十二面體直徑約為8cm，而大星狀十二面體的直徑達23cm。這是因為接出來的正三稜錐比較高。
那麼，如何把這20個正三稜錐粘貼到大十二面體上呢？觀察上圖左圖的大十二面體發現，因為每個正三角形的下面是下凹的正三稜錐空間，所以，為了讓正三稜錐與大十二面體互相連接緊密，我們需要把它填上，所以，製作下圖這樣的立體就非常好，這樣的立體（姑且稱作雙三稜錐）由兩個同底不等高的正三稜錐於底面扣在一起而形成。下圖中，上面的正三稜錐就是上圖中那些白色尖頂正三稜錐，下面的正三稜錐與大十二面體中下凹的正三稜錐空間大小相同。
製作出上圖所示立體20個，把它們尖角朝外地分別嵌入大十二面體的20個下凹正三稜錐空間中並用膠水粘貼牢固，就得到一個大星狀十二面體。
下圖所示為上面所說雙三稜錐的製作過程。在比普通紙稍微厚一些的紙板上畫出一個正五邊形A1A2A3A4A5及內部的五角星A1A3A5A2A4。在這個正五邊形中裁出一個如下圖陰影所示的八邊形區域A1A2A3B1B2B3B4B5。
在藍色虛線A1B4、B4B2、B2A3、A2B4、A2B2上面用小刀輕輕劃出刀痕（為了摺疊方便）；並把線段A2A3也用小刀輕劃出刀痕（A2A3）外為粘貼處。這樣就可以折出一個下面這樣的立體（上面的正三稜錐一定要粘貼好，因為它是最終露在外面的；而下面的三個108度鈍角三角形則正好可以用來與下凹面粘貼）。
先粘上一個。如下圖所示。可以看到，正三稜錐的等腰三角形側面與大十二面體的大五邊形面是位於同一個平面上的（比如圖中紫色的面，又比如圖中綠色的面）。
下圖是製作過程中的一個環節，貼好了一圈五個正三稜錐。可以看出，這五個正三稜錐各有一個側面（比如下圖右圖中的五個白色等腰三角形側面）與大十二面體的一個大五邊形面位於同一個平面上。
需要花些時間製作20個這樣的正三稜錐，然後還需要花些時間把它們 一 一 粘貼到大十二面體上面。下圖就是最終製作成功的大星狀十二面體。
是不是非常非常漂亮！