為什么正多面體最多只能是正二十面體

所謂正多面體，是指多面體的各個面都是全等的正多邊形，並且各個多面角都是全等的多面角。

例如下圖

有朋友可能就會問：為什麼沒有正二十一面體、正五面體呢等等。

首先這個問題最先是被瑞士數學家歐拉所解決。

萊昂哈德·歐拉（LeonhardEuler，1707年4月15日～1783年9月18日），瑞士數學家、自然科學家。1707年4月15日出生於瑞士的巴塞爾，1783年9月18日於俄國聖彼得堡去世。歐拉出生於牧師家庭，自幼受父親的影響。13歲時入讀巴塞爾大學，15歲大學畢業，16歲獲得碩士學位。歐拉是18世紀數學界最傑出的人物之一，他不但為數學界作出貢獻，更把整個數學推至物理的領域。他是數學史上最多產的數學家，平均每年寫出八百多頁的論文，還寫了大量的力學、分析學、幾何學、變分法等的課本，《無窮小分析引論》、《微分學原理》、《積分學原理》等都成為數學界中的經典著作。

歐拉淵博的知識，無窮無盡的創作精力和空前豐富的著作，都是令人驚嘆不已的！他從19歲開始發表論文，直到76歲，半個多世紀寫下了浩如煙海的書籍和論文．到今幾乎每一個數學領域都可以看到歐拉的名字，從初等幾何的歐拉線，多面體的歐拉定理，立體解析幾何的歐拉變換公式，四次方程的歐拉解法到數論中的歐拉函數，微分方程的歐拉方程，級數論的歐拉常數，變分學的歐拉方程，複變函數的歐拉公式等等，數也數不清。

其中他的成就之一歐拉定理便是解決多面體問題的一把黃金鑰匙。

歐拉定理簡單來說就是在一凸多面體中，頂點數-稜邊數 面數=2

因為本人並非數學專業人才，所以接下來的推理過程來自網站。如有冒犯還請周知。

多面體的每個面是正n邊行，每個頂點是m條稜，於是，稜數E應是F（面數）與n的積的一半，即

Nf=2E----1式

同時，E應是V（頂點數）與M的積的一半，即

mV=2E----2式

由1式、2式，得

F=2E/n,V=2E/m,

代入歐拉公式

V F-E=2，

有

2E/m 2E/n-E=2

整理後，得1/m 1/n=1/2 1/E.

由於E是正整數，所以1/E0。因此

1/m 1/n1/2----3式

3式說明m,n不能同是大於3，否則3式不成立。另一方面，由於m和n的意義（正多面體一個頂點處的稜數與多邊形的邊數）知，m=3且n=3。因此m和n至少有一個等於3

當m=3時，因為1/n1/2-1/3=1/6,n又是正整數，所以n只能是3，4，5

同理n=3，m也只能是3，4，5

所以

nm類型

33正四面體

43正六面體

34正八面體

53正十二面體

35正二十面體

由於上述5種多面體確實可以用幾何方法作出，而不可能有其他種類的正多面體

所以正多面體只有5種。

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