今天講一個簡單的知識，那就是四面體的質心（也叫做重心或中心）。我們要證明一個四面體每個頂點到對面中心連線（叫做四面體的中線）相交於一點，且這點到頂點距離與到對面中心距離之比為3:1。
我們知識，在平面時，三角形三條中線相交於一點，這點叫做質心（或重心、中心），質心把中線分成2:1兩部分（到頂點為2，到對邊中點為1）。那麼為什麼在空間時，質點分中線卻是3:1呢？怎麼證明？
如上圖所示，BE是三角形BCD中從點B發出到達邊CD中點的中線，AE是三角形ACD中從點A發出到達邊CD中點的中線。點A'是三角形BCD的質心，點B'是三角形ACD的質心。所以，BA':A'E=2:1，AB':B'E=2:1。連接AA'和BB'，則AA'和BB'分別是四面體之三角形BCD和ACD上的中線。AA'和BB'的交點設為G。為了研究問題方便，我們觀察三角形ABE，如下圖中的陰影。並連接A'B'。
如上圖所示，顯然三角形ABE與三角形A'B'E相似，相似比為3:1。又三角形ABG與三角形A'B'E相似，所以AG:GA'=BG:GB'=AB:A'B'=3:1。即點G同是中線AA'和BB'的四等分點。同理可以證明四面體其他兩條中線都經過點G。並且點G把四條中線都分成3:1兩部分（到頂點為3）。所以最終我們就證明了四面體四條中線交於一點，且這點把四條中線每條都分成3:1的兩段（到頂點為3）。證畢。
下面給出另一種證法，它非常簡潔。如下圖所示。
我們觀察上圖中的陰影三角形AA'E。它的三條邊（或延長線）AA'、A'E、EA上分別有三個點G、B、B'，且這三點共線。根據梅涅勞斯定理，有
即
所以
證畢。
四面體的質心還有另一種方法得到：四面體有四條稜，兩兩相對成異面直線，構成三對對稜。可以證明四面體三對對稜中點連線相交於一點，且這點是三條連線的中點。可以進一步證明這個點就是四面體的質心。
（1）首先證明四面體三對對稜中心連線交於一點且這點平分每條連線。如下圖所示，PP'、QQ'、RR'為三條對稜中點連線。很容易證明紅線所示為平行四邊形。所以，它的對角線相交且互相平分，設交點為G'，那麼PG'=G'P'，QG'=G'Q'。同理點G'也是RR'的中點。
（2）下面我們假設已經按照前面的方法得到了四面體的質心G。然後我們來證明點G就是對稜中點連線的中點G'。如下圖所示，在上上張圖的基礎上，連接EG，並延長，與AB交於點S。設EG與A'B'的交點為T。如下圖所示。我們分兩步走，第一步是證明G為SE的中點，第二步證明點S就是AB中點。
（3）由三角形EA'B'與三角形EAB的相似比為1:3，知ET:ES=1:3。所以，若設ET為2份，那麼ST就是4份。再由三角形GA'B'與三角形GAB的相似比為1:3，得GT:GS=1:3。那麼，ST這4份中，GT佔1份，SG佔3份。於是，GT+TE就佔3份。所以，SG=GE。即G為SE的中點。
（4）再來證明點S為AB中點。證明過程中反覆應用「三角形面積等於底乘高除以2」及「高相等時，底的比值就是面積的比值」。這裡，因為EB':B'A=1:2，所以，若假設三角形EB'G的面積為1份，則三角形AB'G的面積就是2份。從而三角形EGA的面積就是3份。再由SG=GE，得三角形SGA的面積也是3份。再由三角形EA'G的面積與三角形BA'G的面積之比為1:2，及三角形EA'A的面積與三角形BA'A的面積之比為1:2，可以得出面積差也是這個比例，即三角形EGA的面積與三角形BGA的面積之比也為1:2。所以，三角形BGA的面積就是6份。所以，三角形BGS的面積也是3份。從而三角形BGS與AGS的面積相等，所以BS=SA。即點S為AB的中點。
最終，我們便證明了四面體質心G也是對稜中心連線的中點G'。所以，三對對稜中點連線相交點G'就是質心G。
（5）其實，從力學的角度看問題，假設在四面體的頂點處各放置一個質量都為1個單位的質點，那麼質點A和B的質心就位於AB的中點S處，質量為2個單位。同樣地，質點C和D就相當於在CD中點E處放置一個質量為2的質點。那麼，「兩點棒AB」與「兩點棒CD」的平衡點即質心就是AB中點與CD中點連線的中點。從另一方面考慮，三個等質量質點的質心在以三個質點為頂點構成的三角形的質心處，質量為3。四面體三個頂點的質心與第四個頂點（也放置一個同質量質點）的平衡點自然就位於三角形質心與第四個頂點連線的四等分點處，離三角形質心與離第四頂點的距離之比為1:3（反比），而這個點正是四面體四條中線的交點即質心G。