重心和質心

初中教材講了重心，重心是物體所受重力的合力的作用點．對於質量均勻分布的物體，重心位於物體的對稱中心．

這裡介紹質心的概念，對於一個物體，質心和重心是同一個點．那為什麼還要區分質心和重心呢？因為只有在地面附近，重力加速度是常矢量時，才有重心的概念．沒有重力概念的時候也就沒有重心的概念，比如在宇宙飛船上，物體處於失重狀態，沒有重力，當然就無所謂重心了，但是物體上的那一點依然存在，那就是質心．質心是一個比重心更為廣泛的概念．再比如當我們研究微觀粒子的運動時，微觀粒子也有內部結構，而且一般不必考慮重力的作用，但微觀粒子的質心依然重要，粒子質心的運動就可以代表了粒子的整體運動．

物理學中有一個非常重要的定理，在中國把它叫做「質心運動定理」．對任意一個物體，不管它的大小、形狀、是不是會變形，質心運動定理都可以適用．設物體的質量為m，質心為C點，質心的加速度為ac，物體受到其它物體施與的「外力」為F1(e)、F2(e)、……，質心運動定理為

mac＝F1(e)＋F2(e)＋…

對質心運動定理做兩點說明：

1、質心運動定理中只涉及物體所受外力，物體內部的複雜的相互作用力（內力）在定理中不出現．

2、質心運動定理的思想是把複雜的真實物體「假象質點化」，它的數學形式和質點的牛頓第二定律相同，在美國的教材中乾脆就把它叫做牛頓第二定律．中國人恐怕是太嚴謹了！雖然質心運動定理的名字讀者沒見過，但是在中學課程中，當物體不能忽略其大小和形狀時，對它使用的牛頓第二定律實際上就是質心運動定理．

只這樣說讀者可能不好理解，下面通過例子來看一看．

前文討論過如圖1的人騎自行車運動的問題，並說過：「人和自行車」的整體在水平方向受到的外力只有地面施與的摩擦力，由於後輪受到的摩擦力向前，所以在摩擦力的作用下「人和自行車」的整體會獲得向前的加速度．實際上這裡就用了質心運動定理．

圖1

這裡，物體就是「人和自行車」的整體，在忽略空氣阻力的條件下，它受的外力只有重力、支持力和摩擦力，但在這個物體的內部有十分複雜的相互作用力（內力），因此物體內部的相互作用力在質心運動定理中不出現對我們研究問題十分有利．

我們前面說的「人和自行車」的整體運動，不包括車輪的轉動和人相對質心（重心）的運動，這個「整體運動」就可以用質心的運動來代表．

寫出「人和自行車」的質心運動定理的水平分量式，以自行車前進方向為正方向，則

mac＝Ff02 － Ff01

所以可知在摩擦力的作用下「人和自行車」的質心會獲得向前的加速度．

再看一個例子，研究小汽車的運動，小汽車如圖2所示，設此車為常見的前輪驅動車，C為車的質心．在忽略空氣阻力的情況下，圖2中畫出了車所受的外力：重力G、地面支持力FN1和FN2、地面作用於主動輪向前的摩擦力Ff01、地面作用於被動輪向後的摩擦力Ff02，這是小汽車所受外力的真實情況．

圖2  

質心運動定理的思想是把複雜物體假想質點化：假想在物體的質心C處有一個假想質點，這個假想質點的質量就是物體的總質量，而且這個假想質點受到物體所受到的所有外力的作用．因此當我們使用質心運動定理研究小汽車的運動時，一般把車的受力圖畫成圖3，把重力G、支持力FN1和FN2、摩擦力Ff01和Ff02都畫在質心C處．

                     

  圖3

在教材中和圖2、圖3類似的圖都出現過，它們分別表示真實受力狀況和在質心運動定理的觀點下的受力狀況，讀者現在就可以知道兩種圖各自的含義了．再想一想，在中學物理課程中使用的牛頓第二定律，除了研究的物體很小的情況外，實際上經常就是質心運動定理，這也是美國教材把質心運動定理就稱為牛頓第二定律的原因．

再強調一下質心運動定理的假象性，小汽車的質心一般在車廂的內部，那裡實際上是空的，那裡既沒有質點，當然也不可能受力．

質心運動定理雖然具有假想性，但是它可以正確地描述質心的運動，使我們對物體「整體」的運動有正確的了解．而且質心運動定理非常有用，比如圖4所示的運動員跳水的過程，運動員的動作很複雜，但是可以根據質心運動定理確定運動員質心的運動．在忽略空氣阻力的條件下，運動員跳起後只受重力，運動員的質心運動定理mac＝mg和質點作斜拋運動的牛頓第二定律ma＝mg形式完全相同，因此運動員質心的運動完全可以類比於質點的斜拋運動，於是可知運動員的質心沿一條拋物線運動．

當然，質心運動定理只能決定物體質心的運動，對於物體相對質心的運動就無能為力了．

圖4

   最後再看看小汽車的運動問題，對小汽車加速運動的情況，車受外力的真實情況如圖2所示．和人騎自行車的情況類似，地面施與車輪的摩擦力是車作加速運動的原因．但是當車輪和地面間沒有滑動而做無滑滾動時，地面施與車輪的摩擦力不做功，小汽車獲得動能的原因是汽車的發動機做了功．前面提到發動機可以輸出力矩（扭矩），那麼力矩是如何做功的呢？請讀者閱讀下面一段．

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