高中:四面體體積最大時求外接球半徑?關鍵找球心,它們什麼關係

原題

原題：在四面體ABCD中，AD=DB=AC=CB=1，則四面體體積最大時，它的外接球半徑R=?

圖一

這道題思路我們很容易知道，首先就是要找到該四面體外接球的球心，但外接球的球心怎麼找呢？

找球心轉化找它所在直線

要想找到四面體的外接球的球心，就要先找到該四面體的外接球的直徑所在的直線，要想知道該四面體的外接球球心所在的直線，我們就要知道四面體與該四面體的外接球所在直線的位置關係。

四面體和它外接球球心所在直線的位置關係

四面體的四個面都是三角形，也是椎體的一種。

因為它的四個頂點均在外接球上，所以每一個面的三角形都對應一個球截面，即圓面，所以該四面體上的每一條邊都是它所對應圓上的弦，也是該四面體外接球上的弦。

而球上每一條弦的垂直平分線都應該是過該弦所對應的圓的直徑或者是球的直徑。三角形各個心的匯總以及性質的證明過程

所以一條直線同時垂直球上的兩條異面關係的弦時，則球的直徑在這條直線上。

找到該題球心所在直線

取AB的中點M，連接DM，CM。取CD的中點N，連接MN。

圖二

如圖二：

因為AD=DB=AC=CB=1（紅線為1），M又是AB的中點，所以CM=DM且CM⊥AB，DM⊥AB，所以AB⊥面CMD，所以AB⊥MN，所以MN是直線AB的垂直平分線。

所以四面體的體積V=AB×S△CMD/3。

要想四面體的體積最大，則三角形CMD的面積要最大，即S△CMD最大。

因為S△CMD=1/2 ·CM·MDsin∠CMD≤1/2 ·CM·MD，即CM⊥MD時三角形CMD的面積最大。

所以三角形CMD是等腰直角三角形，所以MN也是CD直線的垂直平分線，有MN⊥CD。

所以直線MN就是四面體ABCD外接球球心所在的直線。

根據球心到四個頂點的距離相等求出球半徑

設AB=2x，AM=x，在Rt△AMC中有CM=√(1-x^2)，所以DM=√(1-x^2)。

設O是該四面體的外接球的球心，即O點在直線MN上。

根據球心到四個頂點的距離相等，所以有OA=OC=R。

根據勾股定理有R^2=ON^2+CN^2=CM^2+AM^2①。

又因為三角形CMD面積最大值為Smax=1/2 ·CM·MD，所以有Smax=(1-x^2)/2，所以該四面體ABCD的最大體積Vmax=(x-x^3)/3。

對四面體的體積求導，令V＇max=(1-3x^2)/3=0，所以得出x=√3/3，所以有CM=DM=√2/√3=CMcos45°=1/√3。高中所學的導數公式大全

設ON=y，則OM=1/√3-y，再根據①得出y的值，從而求出四面體外接球的直徑R。

具體做法

第一步，找到該四面體的外接球直徑所在直線。

取AB的中點M，連接DM，CM。取CD的中點N，連接MN。當CM⊥MD時，該四面體的體積最大，得出弦AB和弦CD的公共的垂線平分線MN，即MN就是要找的直線。

第二步，設球心為O，根據球心到四面體頂點距離相等列出方程從而求出該球半徑。

具體解題過程如圖三：

圖三

總結

這道題的關鍵就是找到該球心所在的直線，是對圓上的弦和直徑的關係的拓展，考察了我們空間想像的能力。

所以對於這樣的題型主要是畫出圖形再結合圓上弦和直徑的關係的知識點來解答。