給出邊和角的關係求△ABC內切圓半徑?根據內心特點求半徑?太複雜

原題

原題：在△ABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c，滿足(3c-a)/cosA=b/cosB，D是AC邊上的一點。若AB=2,AD=2DC,BD=4√3/3，求△ABC內切圓半徑r的值。

圖一

題中給出的三角形ABC是任意的三角形，對於任意的三角形是很難根據內心特點，即三條角平分線的交點的特點求出內切圓半徑的，因為這裡的角的度數並不容易求出，那這道題該如何求解呢？

這道題可以根據三角形的面積公式去求解，即公式S=1/2 Lr，這裡的r就是三角形內切圓半徑，L是三角形的周長，S是該三角形的面積。

所以想要求出該三角形的半徑，只需要求出該三角形的面積和該三角形周長即可。

求出三角形面積

三角形ABC的面積S=1/2 ABBCsin∠ABC，又因為AB=2，所以要想求出該三角形的面積只需要求出BC的長度和sin∠ABC即可。

圖二

⑴求出sin∠ABC的值。

因為題中給出了式子(3c-a)/cosA=b/cosB是有邊有角的式子，根據《已知邊和角的式子求a+c的取值範圍？抓住這類題型思路，要知這些》文章講的內容，碰到有邊有角的式子，要將邊和角關系統一。已知邊和角的式子求a+c的取值範圍？抓住這類題型思路，要知這些

所以由(3c-a)/cosA=b/cosB變形得到3ccosB-acosB=bcosA，進一步整理得到3ccosB=acosB+bcosA。

由正弦定理得到3sinCcosB=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)=sinC，因為sinC≠0，所以cosB=1/3。

所以將式子(3c-a)/cosA=b/cosB邊和角統一後就得到了cosB的值，再根據(cosB)^2+(sinB)^2=1得到sinB=2√2/3，即sin∠ABC=2√2/3。

圖三

⑵求出BC的值。

設AD=2DC=2x，因為BC=a，在△ABC中根據餘弦定理有AC^2=AB^2+BC^2-2ABBCcos∠ABC，整理得到9x^2=4+a^2-4a/3①.

不難看到①式中有兩個未知量，所以要想求出a的值，即BC的值，我們還需要一個等式。

我們在前面《高中：已知三角形兩邊長和第三邊上中線長求周長？這隱藏一個已知》文章講到三角形中存在著隱含的已知，所以這裡我們就要用到這個已知，即cos∠ADB+cos∠CDB=0。高中：已知三角形兩邊長和第三邊上中線長求周長？這隱藏一個已知

在△ABD中，根據餘弦定理有

cos∠ADB=((2x)^2+(4√3/3)^2-2^2)/22x4√3/3②.

在△DBC中，根據餘弦定理有

cos∠CDB=(x^2+(4√3/3)^2-a^2)/2x4√3/3③.

所以②+③=0，整理得到3x^2=a^2-6④.

由①④聯立得到3a^2+2a-33=0，解得到a=3或者a=-11/3(舍)。

將a=3代入④式得到x=1或者x=-1(舍)。

圖四

所以有AD=2,DC=1,BC=3.

所以三角形ABC的面積S=1/2 ABBCsin∠ABC=1/2 ×2×3×2√2/3=2√2.

三角形ABC的周長

三角形ABC的周長L=AB+BC+AC=a+b+c.

上述求三角形面積的過程中，已經求出了BC的值，即BC=3。也求出了AD和DC的值，分別為2和1。而AB是已知，即AB=2。

因為AC=AD+DC，所以AC=2+1=3.

所以三角形ABC的周長L=2+3+3=8。

得出內切圓半徑的值

上述求出了三角形ABC的面積S，又求出了三角形ABC的周長L，就可以根據三角形面積公式求出三角形內切圓的半徑r的值。

即S=1/2 Lr，r=2S/L=2×2√2/8=√2/2。

所以三角形ABC的內切圓半徑r=√2/2。

圖五

這裡的三角形面積公式也是很好推倒出來的，分別連接三角形三個頂角和內切圓的圓心，就會將三角形ABC分成三個三角形，每個三角形的面積都可以用邊和內切圓的半徑來表示，將三個三角形面積加在一起就得到了這個三角形ABC的面積公式。

總結

我們知道任意三角形的內心是三條角平分線的交點。

這道題僅憑這一點是很難求出該三角形的內切圓半徑，而對於題中給出邊和角的關係式時都是要藉助與餘弦定理和正弦定理來解決。

而使用正弦定理和餘弦定理只能求出邊或者是角的正弦或者餘弦值。

所以我們要及時的轉化我們的思想，將要求出的內切圓半徑向餘弦定理和正弦定理能求到的知識點靠近，從而得出結果。

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