三角形外接圓半徑R≥內切圓直徑2r

2021-01-14 數學教學研究

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設三角形外接圓半徑為R，內切圓半徑為r。那麼有結論：

本期提供兩種證明方法。


第一種證法


利用歐拉公式，即外接圓圓心（外心）與內切圓圓心（內心）距離的平方等於外接圓半徑的平方減去外接圓半徑與內切圓半徑乘積的2倍：

顯然，

所以結論得證。有關上面這個歐拉公式（以歐拉命名的公式很多）的證明，請閱讀本公眾號之前的文章（見文後連結）。


第二種證法


如下圖所示。有三角形ABC，設它的外接圓（過三個頂點的圓，下圖中綠色）半徑為R。頂點A、B、C的對邊中點分別為D、E、F。過D、E、F三點作圓O'（下圖中藍色）。因為三角形ABC與三角形DEF相似且相似比為2:1，所以，三角形ABC的外接圓O的半徑與三角形DEF的外接圓O'的半徑之比也為2:1。所以，圓O'的半徑為R/2。

顯然，若三角形ABC不是等邊三角形，比如AB不等於AC，則BC邊上的垂足H與BC邊中點D不重合，所以圓O'有一段弧在邊BC的外側。於是可以在BC邊外側作一條與圓O'相切且與BC平行的直線，如下圖B'C'所示。同樣可以作出另外兩條切線，從而得到一個三角形A'B'C'。從而，圓O'就是三角形A'B'C'的內切圓。

三角形A'B'C'與三角形ABC相似，且對應邊互相平行，但最重要的一點是三角形A'B'C'比三角形ABC大。從而三角形A'B'C'的內切圓O'的半徑比三角形ABC的內切圓半徑大。也就是R/2 > r，即R > 2r。在三角形ABC為等邊三角形時，三個垂足都與同一邊上的中點重合，從而圓O'就是內切圓。於是，最終有：

[ 其實，圖中藍色圓O'就是所謂的三角形ABC的九點圓，九個點是三個三邊中點（圖中藍色），三個垂足（圖中黃色）和三個垂心與頂點連線的中點（圖中綠色）。]


這第二個證明從圖上看是很顯然的，但還是需要給出我上面的證明才嚴謹，並且通過證明，我們又複習了一些幾何知識，比如九點圓。還知道第三種方法，以後講。


這也可以算做一個著名的不等式了吧！


第一種證法所用知識的連結： 

《歐拉公式 ( 有關三角形的內外心距離 ) 》。


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