三角形內切圓和外接圓的性質是初三數學的重要知識點，利用這些性質可以解決關於圓的幾何證明計算題，本文就例題詳細解析這類題型的輔助線作法和解題思路，希望能給初三學生的數學學習帶來幫助。
例題1
如圖，在△ABC中，I是內心，O是邊AB上一點，⊙O經過點B且AI相切於點I。
求證：AB=AC。
解題過程：
連接IO，延長AI交BC於點D
根據題目中的條件：I是△ABC的內心，則BI是∠BAC的平分線，即∠BAI=∠DBI=∠BAD/2；
根據圓周角定理和題目中的條件：同弧所對的圓周角等於圓心角的一半，則∠AOI=2∠BAI，即∠BAI=∠AOI/2；
根據結論：∠BAI=∠BAD/2，∠BAI=∠AOI/2，則∠BAD=∠AOI；
根據平行線的判定和結論：同位角相等，兩直線平行，∠BAD=∠AOI，則OI∥BD；
根據平行線的性質和結論：兩直線平行，同位角相等，OI∥BD，則∠ADB=∠AIO；
根據切線的性質和題目中的條件：切線垂直於過切點的半徑，AI是⊙O的切線，IO是半徑，則AI⊥OI，即∠AIO=90°；
根據結論：∠ADB=∠AIO，∠AIO=90°，則∠ADB=90°；
根據題目中的條件：∠ADB+∠ADC=180°，∠ADB=90°，則∠ADC=∠ADB=90°；
根據題目中的條件：I是△ABC的內心，則AI是∠BAC的平分線，即∠BAD=∠CAD；
根據全等三角形的判定和結論：兩組對應角及其夾邊分別相等的兩個三角形全等，∠ADC=∠ADB，AD=AD，∠BAD=∠CAD，則△ABD≌△ACD；
根據全等三角形的性質和結論：全等三角形的對應邊相等，△ABD≌△ACD，則AB=AC。
例題2
如圖，已知Rt△ACB內接於⊙O，∠ABC=90°，∠ACB=30°，過點A作⊙O的切線交CB的延長線於點P，∠APC的平分線交AB於點F，交AC於點E，若AF=3，求CE的長。
解題過程：
過E點作ED⊥CP於點D
根據切線的性質和題目中的條件：切線垂直於過切點的半徑，PA是⊙O的切線，OA是半徑，則PA⊥AO，即∠PAC=90°；
根據角平分線的性質、題目中的條件和結論：角平分線上的點到角的兩邊距離相等，PE是∠APC的角平分線，PA⊥AO，ED⊥CP，則AE=DE；
根據題目中的條件和結論：∠ACB=30°，∠PAC=90°，∠APC+∠ACB+∠PAC=180°，則∠APC=60°；
根據角平分線的性質和題目中的條件：一個角的角平分線把這個角分成相等的兩個角，PE是∠APC的角平分線，則∠APE=∠CPE=∠APC/2；
根據結論：∠APC=60°，∠APE=∠CPE=∠APC/2，則∠APE=∠CPE=30°；
根據外角的性質和結論：三角形的外角等於不相鄰的兩個內角和，∠AEP是△PEC的外角，則∠AEP=∠ACB+∠CPE；
根據結論：∠ACB=30°，∠CPE=30°，∠AEP=∠ACB+∠CPE，則∠AEP=60°；
根據圓周角定理和題目中的條件：直徑所對的圓周角為直角，AC為⊙O的直徑，則∠ABC=90°；
根據題目中的條件和結論：∠ABC=90°，∠ACB=30°，∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°，則∠BAC=60°；
根據等邊三角形的判定和結論： 兩個內角為60度的三角形是等邊三角形，∠BAC=60°，∠AEP=60°，則△AEF為等邊三角形；
根據等邊三角形的性質和結論：等邊三角形的三邊相等，△AEF為等邊三角形，則AE=AF；
根據題目中的條件和結論：AE=AF，AF=3，則AE=3；
根據結論：AE=DE，AE=3，則DE=3；
根據直角三角形的性質和結論：直角三角形中30°角所對的直角邊等於斜邊的一半，ED⊥CP，∠ACB=30°，則DE=CE/2；
根據結論：DE=CE/2，DE=3，則CE=6。
結語
解決三角形的內切圓和外接圓綜合題，必須合理添加輔助線，構造出具有特殊性質的角和邊，只有認真審題，仔細觀察，找到圖形中的重要元素，並牢固掌握相關的性質定理，才能輕鬆應對這類題型，為數學中考取得高分加油助力