沒有對應兩直角的四面體邊,咋找該外接球半徑?垂直底面就是條件

原題

原題：如圖，矩形ABCD中，AB=2√3，AD=2，Q為BC的中點，點M，N分別在線段AB，CD上運動（其中M不與A，B重合，N不與C，D重合），且MN∥AD。沿MN將△DMN折起，得到三稜錐D-MNQ，則三稜錐D-MNQ體積的最大值為多少？當三稜錐D-MNQ體積最大時，其外接球的表面積為多少？

圖一

要想求出三稜錐D-MNQ體積的最大值，所以就要知道什麼時候三稜錐D-MNQ體積的最大，即當面DMN垂直面MNQ的時候，該體積最大。

將三稜錐D-MNQ體積表示出來

不妨設BM=x，矩形ABCD中，AB=2√3，所以AB=CD，又因為MN∥AD，所以BM=CN=x，所以DN=2√3－x。

因為變形ABCD是矩形，所以CD垂直BC，又因為MN∥AD，所以CD垂直MN，又因為當面DMN垂直面MNQ的時候，該體積最大，所以該四面體D-MNQ的高為DN。

S△MNQ的面積為1/2·MN·BM=1/2·2·x=x。

所以根據三稜錐的體積有三稜錐D-MNQ體積V=1/3×S△MNQ×DN=1/3·x·(2√3－x)，x∈(0,2√3)。

變形得到V=1/3×S△MNQ×DN=1/3·x·(2√3－x)=1/3(－x^2+2√3x)=－1/3(x－√3)^2+1，x∈(0,2√3)，所以當x=√3時，三稜錐D-MNQ體積的最大，即為1。

所以要想三稜錐D-MNQ體積最大，DN不僅要垂直底面MNQ，N還要是CD的中點。而第二問就是在此時的三稜錐的狀態，求此時三稜錐的外接球表面積。

所以第二問的關鍵是如何找到外接球的半徑。

找到外接球的半徑

此時的三稜錐，M，N是AB、CD的中點，所以MB=CN=√3，CQ=BQ=1，根據勾股定理有NQ=MQ=2，所以NQ=MQ=MN，所以三角形MNQ是等邊三角形。

所以該三稜錐的圖形如下：

圖二

如圖，像這樣的三稜錐，即四面體並沒有一條邊的所對應的兩個角均為直角，怎麼找到該四面體的外接球半徑呢？

其實這裡還隱藏著一個已知：DN是外接球上弦，該四面體的外接球的球心到該弦的距離是該弦的垂直平分線，該距離也和底面積MNQ的外接圓的半徑是平行的。因為DN垂直底面積MNQ，所以DN也垂直底面積MNQ的外接圓的半徑。

做出底面積MNQ的外接圓的圓心O1和半徑r以及四面體D-MNQ的外接球的球心O2和半徑R。

圖三

如圖三，O1是三角形MNQ的外接圓圓心，O2是四面體D-MNQ的外接球球心，O2D和O2N就是外接球的半徑，而O1N是三角形MNQ的外接圓的半徑，O2P是球心到弦DN的距離，所以有O2P=O1N=r，O2D=O2N=R。

因為三角形MNQ是等邊三角形，所以r=2×√3/2×2/3=2√3/3。

在直角三角形O2DP中，根據勾股定理有R^2=(DN/2)^2+r^2。

整理得到R^2=(√3/2)^2+(2√3/3)^2=3/4+4/3=25/12，所以R=5√3/6。

根據外接球的表面積公式S=4πR^2=4π×25/12=25π/3。

總結

這道題要想找到三稜錐D-MNQ，即四面體D-MNQ的外接球半徑，只要出現的四面體的高為恰好在頂點的時候，該四面體的高就是該四面體外接球上的弦，根據弦就可以找到並求出該四面體的外接球的半徑。

DEF分別是正四面體稜上的點且PE≠PF求四面體P-DEF體積？關鍵在這

高中：知道這些知識點，瞬間能找到三稜錐的高和外接球半徑！

給出邊和角的關係求△ABC內切圓半徑？根據內心特點求半徑？太複雜

高中：已知三角形兩邊長和第三邊上中線長求周長？這隱藏一個已知

高中：四面體體積最大時求外接球半徑？關鍵找球心，它們什麼關係