a,b是非負數且a+b≤2求x^2+2ax+b=0有實根的概率?實則求幾何概型

2021-01-11 玉w頭說教育

原題

原題：已知非實數a，b滿足a+b≤2，則關於x的一元二次方程x^2+2ax+b=0有實根的概率？

圖一

那這道題如何解決呢？我們要明白這道題考我們的是什麼？

這道題給出了a，b的範圍，實際上就是求滿足一元二次方程有實數根時的a和b重新組合成的範圍佔原來a和b範圍的比值——考的是一個幾何概型的題。

幾何概型

幾何概型滿足兩個條件：一是所有可能發生的事件概率均相等；二是所有的事件有無窮多個。

所以對於求幾何概型的概率時都是用可能發生的事件的長度或者面積或者體積去比上所有事件的長度或者面積或者體積。

所以在計算幾何概型的題時，分為兩步：第一步，找到所有可能事件的長度或者面積或者體積；第二步，找到可能發生事件的長度或者面積或者體積。

第一步，找到所有事件的面積

因為題中已經明確地給出了非實數a，b滿足a+b≤2，我們就可以將給出的已知轉化成不等式組求出該取值區域，即所有事件的面積。

由已知得出：a≥0，b≥0，a+b≤2，畫出圖形。

圖二

如圖二，陰影區就是我們要找的所有事件反生的區域，即面積為S=1/2 ×2×2=2。

第二步，找到可能反生事件的面積

①先找到一元二次方程有實數根時，a和b的關係。

因為一元二次方程x^2+2ax+b=0有實數根，所以判別式△≥0，即4a^2－4b≥0，整理得到b≤a^2。

②畫出可能事件的反生的區域。

圖三

如圖三，呈現格子的區域OAC為事件可能反生的區域。那這個區域的面積如何求解呢？

由曲線圍成的區域一般用定積分來求解

圖三中的要求的面積OAC可以分成兩個面積：面積OAB和面積ABC。

面積ABC時一個直角三角形，該面積直接使用三角形面積公式求解即可，關鍵在於如何求解面積OAB。

對於由曲線圍成的區域一般都是用定積分的方法來求解面積，即求a^2在區間(0,1)上定積分，a^2得不定積分是a^3/3，將區間代入得到1/3。

所以OAC的面積S=1/3+1/2 ×1×1=5/6。

所以一元二次方程x^2+2ax+b=0有實根的概率=5/6/2=5/12。

總結

這道題主要考察的是幾何概型的知識點以及求幾何概型面積時碰見由曲線圍成的面積時解決的方法，同時也通過做圖形來輔助解題，擴展思路，所以在作圖的過程中，要找到圖像所過的定點，為解決問題提供了已知，減少難度。

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