再談函數f(x)=ax+b/x(a>0,b>0)

2021-01-14 李飛高中數學

學習均值不等式的時候肯定離不開對函數f(x)=ax+b/x(a>0,b>0)的介紹，其實在必修一初學函數的時候，該函數就已經出現了，這個函數的外號有很多，比如「對勾函數」、「挑函數」、「耐克曲線」，老師的初衷是好的，就是為了學生們能對該圖象有直觀的認識，增強記憶，但是殊不知，這些外號從本質上來說，是曲解了該函數.

因為這個函數的法定名稱叫雙曲線，它的漸近線為y=ax和y軸，y軸是雙曲線的漸近線是很顯然的.該雙曲線的另一條漸近線是直線y=ax，這個道理其實也很明顯，因為ax+b/x比ax大了b/x，當x趨向於正無窮大時，正數b/x趨向於0，所以當x趨向於正無窮大時，f(x)=ax+b/x(a>0,b>0)圖象在直線y=ax上方，無限接近直線y=ax但是永遠不相交.另外該函數為奇函數，所以圖象關於原點對稱.

上述的三個外號只是在a,b取某些特殊值時，而且截取了其中一支曲線中的部分圖象時才能感覺到，比如y=0.5x+1/x(0.4<x<8)的圖象如下圖所示，的確很形象.

但是這些外號沒有突出雙曲線的「雙」以及「兩支漸近線」這些特徵，比如y=0.05x+1/x圖象大致如下圖所示，這些外號就很難叫出口了吧.

（字數夠了，下面用圖片發）

之前談論過這個問題的兩篇文章：

三十天衝刺(十八)——《函數圖象、單調性與值域》

三十天衝刺（二十三）——《均值不等式》


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