由e^x≥1+x衍生出的經典結論探究

2021-02-22 數語新說

ex≥1+x、lnx≤x-1等經典結論在中學數學中有著非常重要的應用.諸如：證明不等式、求最值、賦值取點等.

一.幾何特徵

2.公式來源

上述結論源自於泰勒公式，泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導數的函數f(x)利用關於(x-x0)的n次多項式來逼近函數的方法.

若函數f(x)在包含x0的某個閉區間[a,b]上具有n階導數，且在開區間(a,b)上具有n+1階導數，則對閉區間[a,b]上任意一點x，成立下式：

其中，f(n)(x0)表示f(x)的n階導數，等號後的多項式稱為函數f(x)在x0處的泰勒展開式，剩餘Rn(x)的是泰勒公式的餘項，是(x-x0)n的高階無窮小.

3.經典衍生

4.公式應用

例題1. 已知函數f(x)=eax-x,其中a≠0.

（1）若對一切x∈R，f(x)≥1恆成立，求a的取值集合.

（2）在函數f(x)的圖像上取定兩點A(x1,f(x1))，B(x1,f(x1))(x1<x2)，記直線AB的斜率為k，問：是否存在x0∈(x1，x2)，使f′(x0)>k成立？若存在，求x0的取值範圍；若不存在，請說明理由.

例題2已知函數f(x)=(x+1)lnx-x+1.[來源:Z*xx*k.Com]

（1）若x f′(x)≤x2+ax+1，求a的取值範圍；

（2）證明：(x-1)f(x)≥0 .

相關焦點

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