不可思議的結論:如果將函數e^x轉換到複數平面上是什麼樣式?

2021-01-08 電子通信和數學

最完美的公式e^iπ=-1隨處可見，也是最基礎的數學知識，都知道n個相同的因數a相乘的積記做a^n，也就是指數的疊加，關於e也一樣，如下圖左邊是複數上的，右邊是實數範圍內的，那左邊能分解成iπ個e相乘嗎？聽上去很荒唐，但這是否存在某種內在的聯繫？在3藍1棕的視頻中有一個形象的解答，如下內容是小編按自己的思路做的一個總結：供參考

根據歐拉公式

我們將實數函數e^x轉換到複數範圍內來看待。即x=1i,2i,3i,4i.......

我們在虛軸上移動1個單位時，單位圓就旋轉了1個弧度

虛軸上移動2個單位時，單位圓就旋轉了2個弧度

虛軸上移動3個單位時，單位圓就旋轉了3個弧度

，

同理如果是x=πi，單位圓旋轉了π，正好等於-1，即圖一的結論，

上述你可以理解為將實數範圍內y=e^x轉換到複數平面上圓周的旋轉，即實數範圍坐標的上下移動放大對應一個複數平面上的單位圓，用一種更形象的方式來理解e^x

把整個平面捲成一個圓筒，豎直的線繞成了一個個圓

然後在0附近把這個圓筒拍扁到平面上

這些呈指數形式的間隔圓，就對應最開始的豎直的線

備註：圖片取自youtube：3藍1棕

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