複數指數形式轉換三角 - CSDN

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複數算法

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種種原因，最近一年總是靜不下心來學一些東西。前些天在網上閒逛時，看到量子計算機的一些新聞，查找了一些資料，決定以量子計算為方向，進行學習。期間會將學習過程整理出來，分享給大家。

2019年，谷歌發布了53位量子計算機，號稱只用3分20秒，完成了世界第一超算Summit需要計算 1 萬年的實驗。微軟也發布了Horse Ridge量子計算控制晶片，有望解決目前原型機上百根控制線密布問題，為量子計算機小型化提供了希望。

學習路線是根據Microsoft上的【Microsoft Quantum 入門】一文進行，分為【量子計算概念入門】、【量子計算基礎知識】、【算法】、【協議和庫】幾個部分。期間代碼實現用的是Python，學習前掌握一些Python基礎，有助於理解本文。

 

複數算法

理解複數算法，對於處理量子計算很重要。這裡，【複數算法】是學習量子計算的第一部分內容。

需要用到的數學知識：實數、虛數、複數的三角形式、複數的指數形式、複數的極坐標形式、複數的運算。

 

在一些特定情況下， 實數是不夠用的，例如：

      

在實數中，沒有x的解。在高等數學中，面對這樣的情況，引入了虛數單位，即。虛數單位為i，我們稱i的實數倍為虛數。

虛數有以下特點：

      

 

虛數相加很簡單，但如果是虛數和實數相加呢？這個加法的結果部分是實得，部分是虛的，也就是複數。

複數通常寫成兩部分的和：a + bi，其中a和b都是實數。例如3 + 4i或-5 + 7i都是有效的複數。注意，純實數或純虛數也可以寫成複數形式：2是2 + 0i，-3i是0 - 3i。

這裡我們先定義下複數和極坐標，後續會使用到。這裡，我沒用用tuple表示複數，其中第一個元素是實部，第二個元素是虛部。

from typing import Tupleimport mathComplex = Tuple[float, float]Polar = Tuple[float, float]

 

輸入：

        1.複數x = a + bi，表示成一個元組(a, b)

        2.複數y = c + di，表示成一個元組(c, d)

目標：

        返回這兩個數字的和x+y=z=g+hi，表示為一個元組(g, h)。

 

兩複數相加就是，實部與實部相加，虛部與虛部相加，公式為：

用Python定義複數加法：

# 複數加法def complex_add(x: Complex, y: Complex) -> complex: a = x[0] b = x[1] c = y[0] d = y[1] # 分別求實部和虛部的值 real = a + c imaginary = b + d ans = (real, imaginary) return ans

 

輸入：

        1.複數x = a + bi，表示成一個元組(a, b)

        2.複數y = c + di，表示成一個元組(c, d)

目標：

        返回這兩個數字的和，表示為一個元組(g, h)。

 

兩複數想成就像多項式相乘，公式為：

用Python定義複數乘法：

# 複數乘法# x = a + bi; y = c + di# x * y = a * (c + di) + b*(c + di) = a * c - b * d + (a * d + b * c)idef complex_mult(x: Complex, y: Complex) -> Complex: a = x[0] b = x[1] c = y[0] d = y[1] # 分別求實部和虛部的值 real = a * c - b * d imaginary = a * d + b * c ans = (real, imaginary) return ans

 

在學習其他的複數運算前，這裡先介紹下共軛複數。共軛是一個簡單的操作：一個複數，它的共軛複數是。如果將一個複數乘以它的共軛複數：

       

即一個複數乘以它的共軛複數會得到一個非負的實數。

共軛複數的另一個特性體現在加法和乘法上：

       

       

用Python定義複數轉換為共軛複數：

# 返回共軛複數def conjugate(x: Complex) -> Complex: a = x[0] b = x[1] # 共軛是實部相同，虛部相反，複數乘以共軛複數，虛部為0 ans = (a, -b) return ans

 

輸入：

        1.複數x = a + bi，表示成一個元組(a, b)

        2.複數y = c + di ≠ 0，表示成一個元組(c, d)

目標：

        返回x除以y，x / y = (g + hi)，表示為一個元組(g, h)。

 

利用共軛複數，我們可以把分母（0除外）轉換為實數。轉換過程如下：

       

通過這樣的轉換，我們使得分子變成了複數，分母變成了實數，即。這樣就變成了複數除以實數，用實部和虛部分別除以分母（實數）即可。

用Python定義複數的除法：

# 除法x / ydef complex_div(x: Complex, y: Complex) -> Complex: # 分子分母分別乘以y的共軛 num_ator = complex_mult(x, conjugate(y)) num_deno = complex_mult(y, conjugate(y)) # m為分子實部，n為分子虛部，r為分母實部（分母虛部為0） m = num_ator[0] n = num_ator[1] r = num_deno[0] # 分別求實部和虛部的值 real = m / r imaginary = n / r ans = (real, imaginary) return ans

 

實數可以用數軸來表示，數軸上的每個點代表一個實數。我們可以把這種表示擴展成實數和虛數，從而生成一個特殊的數軸：虛數軸，它只與實數軸在0處相交，這樣一個坐標系我們稱為複平面。

複數x = a + bi對應著複平面上的點(a, b)，也對應複平面上的一個向量（如上圖所示）。這個向量的長度叫做複數a+bi的模，一般用字母r表示。同時這個向量針對x軸的正方向有一個方向角，我們稱為幅角，一般用希臘字母θ表示。

顯然，代入複數代數形式得：。

我們把叫做a+bi的三角形式。有時間的可以自己定義下複數三角形式下的運算。

三角形式下，複數的乘法「一部分」轉換成加法（模相乘，幅度相加），轉換公式如下：

除法遵從模相除，幅度相減，這裡不展開講解。

 

上述提到的向量的長度叫做複數x = a + bi的模，複數的模用r表示，求模的公式轉換如下：

       

用Python定義求模：

# 求模def modulus(x: Complex) -> Complex: a = x[0] b = x[1] ans = math.sqrt(a * a + b * b) return ans

 

根據歐拉公式可以推導出，具體證明過程我也沒有去了解，這裡也不展開講。有興趣的朋友可以自行查找資料。

需要用到的幾個等式，可以留個印象：

       

 

我們還可以計算自然常數e的複數冪，計算的轉換公式如下：

       

        tip：可以轉換為模為1，幅度為b的三角形式的複數，即

用Python定義自然常數e的複數冪：

# 自然常數e的複數冪,x = a + bi ,輸出 e^x = g + hidef complex_exp(x : Complex) -> Complex: a = x[0] b = x[1] # e^x = e^(a+bi)= e^a * e^bi = e^a * (cos(b) + i*sin(b)) real = (math.e ** a) * math.cos(b) imaginary = (math.e ** a ) * math.sin(b) ans = (real, imaginary) return ans

 

輸入：

        1.一個實數r

        2.複數x = a + bi，表示成一個元組(a, b)

目標：

        返回

 

用Python定義實數的複數冪：

# 實數的複數冪, x = a + bi, r^x = g + hidef complex_exp_real(r: float, x: Complex) -> Complex: a = x[0] b = x[1] # r^x = r^(a +bi) = r^a * r^bi = r^a * (cos(b) + i*sin(b)) real = r ** a * math.cos(b) imaginary = r ** a * math.sin(b) ans = (real, imaginary) return ans

 

已知表達式，如果我們把這個數映射到複平面上，它將落在一個圍繞0+0i的單位圓上，這意味著它的模總是1。利用這個事實，我們可以用極坐標表示複數，在極坐標系統中，複數，我們用兩個數字來表示，r表示長度，θ表示方向角，轉換為元組形式為(r, θ)。

 

輸入：

        1.複數x = a + bi，表示成一個元組(a, b)

目標：

        返回極坐標形式，表示成一個元組(r, θ)

 

用Python定義複數代數形式轉換為極坐標：

# 通過笛卡爾坐標求極坐標def polar_convert(x : Complex) -> Ploar: r = modulus(x) value_cos = x[0] / r degree = math.acos(value_cos) # 如果虛數為負，則θ為2π-θ if x[1] < 0: degree = 2 * math.pi - degree ans = (r, degree) return ans

 

輸入：

        1.複數極坐標形式，表示成一個元組(r, θ)

目標：

        返回極坐標形式x = a + bi，表示成一個元組(a, b)

 

用Python定義複數極坐標z形式轉換為代數形式：

# 通過極坐標求笛卡爾坐標def cartesian_convert(x : Ploar) -> Complex: a = x[0] * math.cos(x[1]) b = x[0] * math.sin(x[1]) ans = (a, b) return ans

 

輸入：

        1.複數極坐標形式，表示成一個元組

        2.複數極坐標形式，表示成一個元組

目標：

        返回，表示成一個元組。注意，，

 

用Python定義極坐標的乘法：

# 極坐標乘法def ploar_mult(x : Ploar, y : Ploar) -> Ploar: r1 = x[0] r2 = y[0] degree1 = x[1] degree2 = y[1] r3 = r1 * r2 degree3 = degree1 + degree2 if degree3 >= 0: degree3 = degree3 % (2 * math.pi) else: degree3 = degree3 % (-2 * math.pi) ans = (r3, degree3) return ans

 

通過上述的學習，已經了解了很多複數相關的知識，下面嘗試定義複數的任意指數計算。

輸入：

        1.複數x = a + bi，表示成一個元組(a, b)

        2.複數y = c + di，表示成一個元組(c, d)

目標：

        返回，表示成一個元組(g, h)

 

推導過程：

1.將x轉換為極坐標形式：

2.則

用Python定義複數的任意指數計算：

def complex_exp_arbitary(x : Complex, y : Complex) ->Complex: # x = a + bi, y = c + di, x^y = g + hi # polar_convert(x) -> (r, θ） -> x = r*e^θi -> x^y = (r*e^θi)^(c+di) = r^(c+di) * e^(-dθ+cθi) # Complex : x -> Ploar : x (r, θ) ploar_x = polar_convert(x) # tmp_v1 = r^(c+di) tmp_v1 = complex_exp_real(ploar_x[0], y) # tmp_v2 = -dθ+cθi tmp_v2 = (-y[1]*ploar_x[1], y[0]*ploar_x[1]) # tmp_v3 = e^(-dθ+cθi) tmp_v3 = complex_exp(tmp_v2) # Complex: x^y = r^(c+di) * e^(-dθ+cθi) = tmp_v1 * tmp_v3 ans_complex = complex_mult(tmp_v1, tmp_v3) ans = polar_convert(ans_complex) return ans