複數在解析幾何中的妙用

2021-01-12 數學佬

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我們知道，解析幾何中的點用一對數(x,y)來表示，而複數x+yi的幾何意義也正是點(x,y)，也就是說，平面上的點可以用複數x+yi來表示，當然平面上的向量也可以用複數x+yi來表示。

因此，許多解析幾何問題是可以用複數來解決，用複數解決問題和用解析幾何解決問題本質上就是一回事。


但複數有一個解析幾何沒有的工具——乘法。複數可以進行乘法，直接用點不能。

我們知道，將複數寫成三角形式，就是z=x+yi=r(cosθ+isinθ)。於是，

舉一個我們日常常見的例子


題目、已知正方形ABCD的兩個頂點A(3,5),B(1,6)，求其他兩個頂點坐標。

點C的坐標的兩個解同法可得。


題目、已知正三角形ABC的頂點A(1,1),B(−1,−1)，求頂點C的坐標


題目、已知正方形ABCD的兩個點為A(−2,4),C(3,−6)，求另兩個頂點坐標

當然，B,D坐標對調也是可以的。

在實際計算時，數學佬算D或許就不用複數了，直接利用AC與BD互相平分的性質更快些。


本文大Boss來了！

題目：在△ABC的外邊作正方形ABEF和正方形ACGH，則

(1)△ABC的高DA的延長線平分線段FH

(2)△ABC的中線長AM= FH

如圖


顯然，大Boss不只是解析幾何一個解法，還可以用純幾何來證明，或者其他思路，不過本文的主旨是複數處理解析幾何，故而其他思路就不再這裡提及了。


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