託勒密定理的證明與妙用

託勒密定理

原來可以這麼玩

今年8月初，小編有幸參加了在南京舉行的第二屆數學行者初中數學教學研討會！因此，有機會現場聆聽數學大咖們的分享！其中於特關於託勒密定理的妙用，讓我大開眼界！ 遂有此文，聊以紀念這次「南京數學行者」之旅！

託勒密定理內容簡單、形式優美，有助於處理圓的內接凸四邊形的邊長。其相關推論對於解決凸四邊形最值問題有很大幫助。小編將從託勒密定理的證明及應用，相關推廣及應用來進行闡述！

1、託勒密定理的兩種證法

一般幾何教科書中的「託勒密定理」，實出自依巴谷(Hipparchus)之手，託勒密只是從他的書中摘出。

定理：圓內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。

已知：如圖1，凸四邊形ABCD是圓O的內接四邊形，連接對角線AC、BD。

求證：AB.CD+BC.AD=AC.BD

圖1

分析：由結論的形式我們可以聯想到構造三角形相似，從而得到對應變成比例，並把它轉化為乘積形式，從而得證！

證法一：如圖2，在BD上找一點E，使∠1=∠2。

 

圖2

證法二：如圖3，∠1=∠2，使AE交CB的延長線於點E。

 

圖3

2、託勒密定理的應用

例1：如圖4,在O的內接四邊形ABCD中,AB=3,AD=5,∠BAD=60∘，點C為弧BD的中點，則AC的長是       。

圖4

解析：連接BD，因為∠BAD=60，CB=CD,易知∠BCD=120，BD=√3BC

由託勒密定理知：AC.BD=AB.CD+AD.BC

即AC.√3BC=3BC+5BC

故√3AC=8，AC=8√3/3

例2:如圖5，點P是等邊△ABC外接圓劣弧BC上一點，連接PA、PB、PC。

求證：PA=PB+PC

圖5

解析：因為△ABC為等邊三角形，故AB=BC=AC

由託勒密定理知：AP.BC=AB.PC+AC.BP

即AP.BC=PC.BC+BP.BC，即AP=PB+PC

例3：（利用託勒密定理證明勾股定理）已知Rt△ABC,設直角邊AB=a,BC=b,斜邊AC=c。求證：

解析：如圖6，構造矩形ABCD和外接圓O，

 圖6

由託勒密定理得：AC.BD=AB.CD+BC.AD

即AC.AC=AB.AB+BC.BC

即

3、託勒密定理的推論及證明

託勒密定理在解決圓的內接凸四邊形的邊長關係時非常簡潔、方便，但僅限於該凸四邊形共圓。如果凸四邊形不共圓時，各邊長將滿足怎樣的關係呢？

託勒密定理推論：任意凸四邊形ABCD，必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC，而且當ABCD四點共圓時取等號。

證明：如圖7，在四邊形ABCD中,連接AC、BD,作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD

則△ABE∽△ACD

圖7

 

∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD

∴BE.AC=AB.CD(1),

AB/AE=AC/AD

∵∠BAE=∠CAD

∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC

即∠BAC=∠DAE

又∵AB/AE=AC/AD,

∴△ABC∽△AED

∴BC/ED=AC/AD

∴ED.AC=AD.BC(2)

由（1）+（2）得：

AC.(BE+ED)=AB.CD+AD.BC

又∵BE+ED≥BD

∴AC.BD≤AB.CD+AD.BC

若且唯若點E落在線段BD上時，等號成立。

圖8

如圖8，此時∠ABD=∠ACD

∴ABCD四點共圓。

4、託勒密定理推論的簡單應用

例4：如圖9，在四邊形中BC=CD，∠BCD=90。若AB=4cm，AD=3cm，則對角線AC的最大值為      cm.

圖9

解析：本題是2017年園區初二期末數學統考題，我們通常採用旋轉的方法求AC的最大值。當小編知道託勒密定理的推論時，這個問題變得非常簡單。

由託勒密定理得：AC.BD≤AB.CD+AD.BC

即AC.√2BC≤AB.BC+AD.BC

即√2AC≤7，即AC≤7√2/2

我們從來不缺少知識，但我們缺少對知識有計劃的吸收、加工和輸出！

路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索！

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