託勒密定理的應用

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本公眾號於2018年8月20日曾發送過一篇名叫《託勒密定理》的文章，其中講到託勒密定理及證明，並給出了有關正三角形和正方形各自的一個結論並證明。但對正五邊形和正六邊形的情況，雖然給出了類似結論，但未加證明。於是，有朋友後臺留言，要我講一講正五邊形相關結論的證明。好的，我今天就來講一講。

如下圖所示，ABCDE為正五邊形，邊長為u。圓O是它的外接圓。點P為劣弧AB上任意一點。連接PA，PB，PC，PD，PE。設它們的長度依次為a,b,c,d,e。試證明，a+b+d=c+e。

證明：

（1）證明過程中用到託勒密定理，所以，需要先把託勒密定理擺出來（它的證明，文後有連結）。

如下圖所示，ABCD為圓內接四邊形，則對角線AC與BD的乘積等於一對對邊AB與CD的乘積加上另一對對邊AD與BC的乘積，即AC·BD=AB·CD+AD·BC。

（2）作輔助線AD、BD、CE（如下圖虛線所示）。

（3）因為四邊形APDE是圓內接四邊形，所以，由託勒密定理，有：

a·u+d·u=e·AD

四邊形BPDC是圓內接四邊形，所以，由託勒密定理，有：

b·u+d·u=c·BD

將以上兩式相加，並考慮到AD=BD，得到

(a+b+d)·u+d·u=(c+e)·AD                  ① 

（4）四邊形PCDE也是圓內接四邊形，所以，由託勒密定理及EC=AD，得：

d ·EC=d ·AD=(c+e)u                          

解出d：

     d=(c+e)u/AD                          ② 

把②式代入①式，得

而

把④式代入③式，得

代簡，得

上式兩邊約去u，兩邊含√5(根號5) 的項抵銷掉了，所以，最終得到：

託勒密定理證明及其他相關內容，點下面連結閱讀：《託勒密定理》。