託勒密定理

2021-01-21 玩轉高中數學研討
克羅狄斯·託勒密（古希臘語ΚλαύδιοςΠτολεμαῖος ；拉丁語：ClaudiusPtolemaeus，約90年—168年），是希臘數學家，天文學家，地理學家和佔星家。一般幾何教科書中的「託勒密定理」，實出自依巴谷(Hipparchus )之手，託勒密只是從他的書中摘出。

摘出並完善後的託勒密(Ptolemy)定理指出，圓的內接凸四邊形兩對對邊乘積的和等於兩條對角線的乘積。


託勒密定理在中考題中的應用

（1）當△ABC是等邊三角形時，

如圖1，當點D在弧AC上時，

根據託勒密定理有：AC·BD=AB·CD+AD·BC，

又等邊△ABC有AB=AC=BC，

故有結論：BD=AD+CD．

證明：在BD上取點E使得DE=DA，

易證△AEB∽△ADC，△AED∽△ABC，

利用對應邊成比例，可得：BD=AD+CD．

如圖2，當點D在弧BC上時，結論：DA=DB+DC．

【小結】雖然看似不同，但根據等邊的旋轉對稱性，圖1和圖2並無區別．


（2）當△ABC是等腰直角三角形，

如圖3，當點D在弧BC上時，

根據託勒密定理：AD·BC=AB·CD+AC·BD，

又AB:AC:BC=1:1:根號2，

代入可得結論：根號2AD=BD+CD．

 如圖4，當點 D在弧AC上時，

根據託勒密定理：AD·BC=AB·CD+AC·BD，

又AB:AC:BC=1:1:根號2，

代入可得結論：BD=根號2AD+CD．

（3）當△ABC是一般三角形時，

若記BC：AC：AB=a：b：c，

根據託勒密定理

可得：a·AD=b·BD+c·CD．




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