（文章較長，需要耐心閱讀哦~~~）
1、阿波羅尼斯圓
首先，我們來看一道題
如圖：在一個平面直角坐標系中：圓O的半徑為3，已知兩點A(0,9)、b
B(10,0)，點C是圓上的一點，求1/3AC+BC的最小值
首先，這個圖，我們無法直接通過作對稱等方式將其轉化到同一直線上，但是，通過胡不歸等方式，也無法直接轉換。因此我們需要尋找相似進行處理。
首先，我們連接OC，
這時候，我們不難發現，OC恆等於1/3OA，這個正好與題目中的1/3吻合，所以，我們可以想辦法在y軸上找一點，使得AC也能中找到對應的1/3長度。
因此，可以在y軸上找一點E使得∠OCE=∠OAC
這時候，就很容易證明△OCE～△OAC，由此可得AC=3EC
這時候，EB就是我們要找的最小值
這就是所謂的阿波羅尼斯圓的一個基本應用
那麼，到底什麼是阿波羅尼斯圓呢
這是百度百科上的解釋↓↓↓
解答
令B為坐標原點，A的坐標為(a,0).則動點P(x,y)
滿足
PA/PB=k（k>0且k≠1）且PA=√((x-a)^2+y^2)，PB=√(x^2+y^2)
整理得(k2﹣1)(x2+y2)﹢2ax﹣a2=0
當k>0且k≠1時,它的圖形是圓。
當k=1時，軌跡是兩點連線的中垂線。
2、託勒密定理
首先，這是它的內容
圓的內接四邊形中，兩對角線所包矩形的面積等於 一組對邊所包矩形的面積與另一組對邊所包矩形的面積之和。
用幾何語言表示就是：圓內接凸四邊形ABCD，AB*CD+AD*BC=AC*BD
當然，他的逆定理也是成立的，內容如下：
凸四邊形的兩組對邊乘積和不小於其對角線的乘積，取等號若且唯若共圓或共線。
證明如下：
首先，在BD上取一點E，連接AE，使得∠EAD=∠BAC
∵∠BCA=∠BDA
∴△BAC～△EAD
∴BA：EA=CA：DA=BC：ED
∴BA：CA=EA：DA，BC*DA=CA*ED.......①
∵∠BAE=∠CAD
∴△BAE～△CAD
∴BE：CD=BA：CA
∴BE*CA=CD*BA......②
①+②可得（BE+DE）*CA=BC*DA+BA*CD
即（BE+DE）*CA=BC*DA+BA*CD
其逆定理的證明如下：
那麼，這東西怎麼應用呢
我們來看一道題
如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，以AB為一邊，向△ABC外側作正方形ABDE，其對角線相交於O，連接CO，CO=4√2，求BC的長度
如果用託勒密定理進行證明，就是這樣的
∵∠AOB+∠ACB=180°
∴ACBO四點共圓
∴AC*BO+AO*BC=OC*AB
∵AB=√2AO，AO=BO
∴3OB+BC*OB=√2*2√2*OB
∴BC+3=8
解得BC=5
∴BC的長度是5
然而，如果不用託勒密定理，就是這樣
如果說我不會託勒密定理的話，呃，監考老師，這分我不要了
所以說，一些奇怪的定理雖然少用，但是可以是很多題目化難為簡
附上百度百科的連結：
託勒密定理：
https://baike.baidu.com/item/%E6%89%98%E5%8B%92%E5%AF%86%E5%AE%9A%E7%90%86/2675936?fr=aladdin
阿波羅尼斯圓：
https://baike.baidu.com/item/%E9%98%BF%E6%B0%8F%E5%9C%86/2792619?fr=aladdin
1、四點共圓
這個東西嘛，顧名思義：就是四個點都在同一個圓上。
那麼，四點共圓有什麼性質呢？
如圖，已知ABCD四點共圓，就會有圓內接四邊形的相關性質
1、∠DAC=∠DBC
2、∠DAB+∠DCB=180°（即圓內接四邊形對角互補）
那麼，怎麼樣才算是四點共圓呢
1、四個點到某一個點的距離相等（定義法）
2、同斜邊的直角三角形的頂點共圓（斜邊中點處即為圓心）
3、對角互補或有一個外角等於其內對角的四邊形頂點共圓
4、同底且同側頂角相等的兩個三角形的頂點共圓
接下來是對他們的證明：：：（第一個和第二個我就不證明了，因為第一個其實就是四點共圓的定義，而第二個直接用直角三角形斜邊上的中線等於斜邊的一半即可再次用第一個判定定理進行判定）
第三個方法的證明：（反證法）
如上圖，（已知條件是∠ABC+∠ADC=180°）我們假設ABCD不是四點共圓的，那麼我們就先做出其他三個點所在的圓，然後連接其中一條對角線BD與圓交於E，再連接AE、CE，然後這時候ABCE就是四點共圓了，由圓內接四邊形的性質可知∠ABC+∠AEC=180°，又由題目可知∠ABC+∠ADC=180°，也就是說∠AEC=∠ADC，但是從圖中我們不難看出，AECD構成了一個飛鏢模型，由飛鏢模型的結論可知∠ADC<∠AEC。這時候就出現了矛盾，也就是說「四點不共圓的假設不成立」，因此該假設的反面也就是「四點共圓」成立
用幾何語言書寫就是這樣↓↓↓
第四個方法的證明：：：
如上圖：（已知條件是∠BAC=∠BDC），設對角線的交點為P，由於∠∠BAC=∠BDC，再加上∠APB=∠CPD，因此△ABP～△DCP，就可以得出比例關係AP：DP=BP：CP，改寫一下，變成這樣：AP：BP=DP：CP，然後加上∠APD=∠BPC就可以得出△APD～△BPC，就可以得出∠CAD=∠CBD。因此：∠BAD+∠BCD=∠BAC+∠DAC+∠BCD=∠BDC+∠DBC+∠ACD=180°，也就是說該四邊形對角互補，利用定理三即可。
用幾何語言書寫就是這樣↓↓↓
知道四點共圓是什麼之後就可以開始應用了，不過呢，一般能用四點共圓的題都只能用四點共圓，至於具體有什麼題，我們明天再講
2、歐拉線
歐拉線有很多，不過我們只講關於三角形五心的那一條
如圖，在△ABC中，OGH分別是三角形的外心，重心，垂心（分別對應紅藍灰色線），那麼會有OGH三點共線，而且GH=2OG
證明如下：
如圖，OH分別是三角形的外心和垂心，G是AD和OH的交點
首先，易證∠BOD=0.5∠BOC=∠BAC，OD=OB*cos∠BOD=R*cos∠BAD，又因為AH=AF/cos∠FAH=（AC*cos∠BAC）/sin∠ABC=（AC/sin∠ABC）*cos∠BAC=2R*cos∠BAC。因此AH=2OD，即GH=2OG，AG=2GD，由重心定理可知G即為△ABC的重心。
註：cosα=sin（90°-α）是三角函數基本定理，AC/sin∠BAC=2R是正弦定理