同學們好，上幾篇我們已經將和圓相關的線，和圓相關的角，以及和圓相關的面中的內接三角形分享了，這篇我們接著分享和圓相關的面中的內接四邊形。那圓的內接四邊形又有怎麼樣的性質和定理呢？
我們一起來看看：
圓的內接四邊形的性質
圓內接四邊形的前三個性質：
1）對角互補，外角等於它的內對角
2）相交弦定理
3）割線定理
大家應該都比較熟悉。但是第四個性質，可能大部分同學都沒有聽說過。這第四個性質是圓的內接四邊形中邊與對角線的關係。叫做託勒密定理。
4）託勒密定理
如何證明？要讓四邊和對角線都扯上關係。大家是否能夠想到之前小編分享的關於三角形的旋轉相似模型，它會出現一轉成雙（一般很難想到，要對此模型非常熟悉才行）。看看這種模型是否能夠用以證明這個託勒密定理呢？
因為四邊形ABCD四點共圓，根據圓周角定理推論，可推出∠CAB=∠CDB，根據旋轉相似模型，我們可以想一下，如果作∠ABM交AC於M點，使得∠ABM=∠DBC，那麼就可以推出△ABM∽△DBC，一轉成雙，那麼也可證△ADB∽△MCB，進而就能夠證明託勒密定理，我們來看看具體過程。
這個託勒密定理雖然課本上並沒有直接作為一個定理拿出來給大家用，但是這個定理還是比較好用的一個定理，大家要記得它是怎麼證明的。託勒密定理也是初中數學競賽中常用的一個定理。這個定理也並不難記憶。想一想一轉成雙相似模型，你就應該能夠想到要怎麼做輔助線了。
當然，用這些定理的前提，一定得是圓的內接四邊形，也就是四點共圓，但是有些題中，常常只是告訴你它是四邊形，要證明一些角，線的關係。這個時候，你就得想到這些四邊形是否能放到圓中，進行討論，從而運用一些定理來證明它們的角，或者它們的線的關係。我們都知道，並不是所有的四邊形都有外接圓，那最關鍵的問題就來了，怎麼判定他們是圓的內接四邊形，也就是要證明他們四點共圓呢？
讓我們一起來看看四點共圓的判定，也就是圓內接四邊形的性質的逆命題。
這幾個判定的證明1），2）需要用到反證法。可先假設其中一個點不在圓內，最後證明假設不成立，從而證明這個點一定在圓內。3），4）使用三角形相似證明角的關係，再根據1），2）來證明結論正確即可，此處證明過程略。
接下來，我們看看怎麼運用四點共圓的性質和判定吧。
例題
我們來看看這道題，要求證的是對角線和邊的關係，而且是四邊形，那麼我們就得想到託勒密定理。但是得要先證明這個四邊形四點共圓。
如果熟知圓的內接四邊形的性質和等腰梯形的性質，我們是非常容易知道圓的內接梯形，它一定是等腰梯形。反過來，等腰梯形，四個點共圓。這樣一來，我們把等腰梯形放置到圓中，我們就可以使用託勒密定理的證明這個結論了。
看，這樣一來，是不是一點都不覺得難了。託勒密定理真是太有用了。如果碰到這種題，課本上並沒有明確或者說到託勒密定理可以用，大家可以把如何證明託勒密定理的方法運用到這種題目中。證明它就可以。
接下來，我們來道題練練看，你是不是已經會用託勒密定理了呢？
練習
這道練習題可能就有點難度咯。大家先動動腦想一想，提示，可以構造四邊形來證明哈。
好了，今天的分享就到這了，同學們是不是又學會了一種證明方法呢？我們不僅要記得這個託勒密定理，也一定要知道它是怎麼證明的哦。喜歡我們的文章，請點讚，關注，收藏，分享，我們後期還有更多思想方法分享給大家，謝謝