託勒密定理證明-每日題目(高中數學篇)

2021-01-21 每天完善



Hello！大家好！

這裡是每天完善，我是童老師！


今天我們來看看託勒密定理是如何證明的。但是不要誤會。。。，慢慢往下看！

[ 高中數學篇 ]



託勒密是什麼人？沒錯！就是那個提出了地心說的人，並且把地心說完完整整的闡述了一本羊皮卷出來。這個出生在埃及的希臘裔是2000年前羅馬帝國的天文學家、地理學家、佔星家及光學家。


然而今天，不要誤會，我們真的不是要講託勒密，因為託勒密定理跟託勒密一點關係都沒有。


今天所講的託勒密定理實際上是出自希臘數學家依巴谷之手，託勒密只是摘錄了他的文獻。


人們繪製的依巴谷的圖片


接下來，我們來看看託勒密定理是如何闡述的！對，具體說應該是依巴谷定理是如何闡述的！


它的定義是：圓內接四邊形的兩對對邊長的乘積之和等於兩對角線長的乘積。


它的廣義定義是：任意凸四邊形的兩對對邊長的乘積之和≥兩對角線長的乘積。


我們現在把定義和廣義定義一起來證明了。


用相似證明


證明：



在四邊形ABCD中,連接AC、BD,

作∠ABE=∠ACD,∠BAE=∠CAD

則△ABE∽△ACD

∴ BE/CD=AB/AC,AB/AC=AE/AD

∴BE*AC=AB*CD ①,AB/AE=AC/AD

∵∠BAE=∠CAD

∴∠BAE+∠EAC=∠CAD+∠EAC

即∠BAC=∠DAE

又∵AB/AE=AC/AD,

∴△ABC∽△AED

∴BC/ED=AC/AD

∴ED*AC=AD*BC②

①+②,得

AC*(BE+ED)=AB*CD+AD*BC

又∵BE+ED≥BD

∴AC*BD≤AB*CD+AD*BC

從而命題得證，

且僅當E點落在線段BD上時，等號成立

此時∠ABD=∠ACD

∴ABCD四點共圓

證明完畢！


用複數證明


用Z1、Z2、Z3、Z4分別表示四邊形頂點A、B、C、D的複數

則AB、CD、AD、BC、AC、BD的長度分別是：

(Z1-Z2)、(Z3-Z4)、(Z1-Z4)、(Z2-Z3)、(Z1-Z3)、(Z2-Z4)。 

利用複數恆等式：

(Z1−Z2)(Z3−Z4)+(Z1−Z4)(Z2−Z3)=(Z1−Z3)(Z2−Z4)，

兩邊取模，

運用三角不等式得。

等號成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等，

這與A、B、C、D四點共圓等價。


證明：


今天就到這裡，希望對大家有用！


【下篇<每日題目高中篇>，運用託勒密定理的簡單題型。敬請關注！】


2018/11/12  


謝謝閱讀！


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