史上最難奧數題目,理論數學家解不開,但神人用高中數學輕鬆破解

　　在數學界中，有一道很經典的難題叫「傳奇的第6題」（The Legend of Question Six）。它是國際數學奧林匹亞其中，公認史上最困難的題目。

　　這道題目是這樣的：

　　

假設正整數a、b，滿足ab + 1可以整除a^2 + b^2，證明(a^2 + b^2) / (ab + 1) 是某個整數的平方。
Let a and b be positive integers such that ab + 1 divides a^2 + b^2. Show that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is the square of an integer.

　　假設正整數a、b，滿足ab + 1可以整除a^2 + b^2，證明(a^2 + b^2) / (ab + 1)是某個整數的平方。

　　Let a and b be positive integers such that ab + 1 divides a^2 + b^2. Show that (a^2 + b^2) / (ab + 1) is the square of an integer.

　　這道題目，當年的奧林匹亞數學議題委員會，以及4位數論專家都解不開，被認為「不適合放到競賽題目中」。最後它還是變成了比賽題目，而且還被參賽者解開。

　　傳奇的第6題，當年的理論數學家也解不出來

　　首先，我們來認識國際數學奧林匹亞競賽。

　　國際數學奧林匹亞（International Mathematical Olympiad，IMO，下文簡稱數奧）是全球性的數學競賽，參賽對象為全球的中學生，可說是數學界的奧運，從1959年開始舉辦，至今已有60年的歷史，是國際科學奧林匹亞其中歷史最長的賽事。數奧競賽共有6道題目，基本上都是證明題，分為簡單、中等與困難3個等級，第1與第4題屬於簡單題，第2與第5題屬於中等題，第3與第6則是困難題。每題滿分為7分，總分42分。

　　數奧每年都由不同的國家主辦（臺灣曾擔任1998年的主辦國），題目由主辦海外的其他參賽國提供，主辦國會組織擬題委員會，從題目其中選出候選題目，再由參賽各國一同商議出最終競賽題目與官方解答。

　　而「傳奇的第6題」是1988年的題目，是由西德數學家提供的。西德曾獲1982和1983年的數奧冠軍，後來被美國、蘇聯、羅馬尼亞等國奪去冠軍頭銜，西德數學家就在1988年，精心設計超難的「傳奇的第6題」。

　　當年主辦國是澳洲，結果擬題委員會的6個成員都無法解開這道難題，他們向最強的4位數論專家求助，他們也無法解題。但是擬題委員會仍然把這道題目列為候選題，結果各國商議過後，竟然真的採用這道題目，成為第29屆數奧的第6題。

　　更驚人的是，竟然有參賽選手解開這道題目。雖然268位選手的平均得分只有0.6，是數奧29年來分數最低的一題，卻有11名選手取得滿分。要特別強調的是，數奧是辦給「中學生」的數學競賽，那些中學生能夠解開理論數學家解不開的題目，真的非常驚人。

　　他們是怎麼破解「傳奇的第6題」的？

　　數奧選手用高中程度的「韋達跳躍」，破解傳奇的第6題

　　其實他們用的並不是微積分、離散數學、線性代數等高等數學技術，而是高中數學程度的「韋達跳躍」（Vieta jumping）。韋達跳躍包含兩個部分：韋達定理（Vieta’s theorem）、無窮遞降法（method of infinite descent）。

　　韋達定理描述二次方程式其中，兩根的和、積與項數之間的關係，這是臺灣高一數學課的內容。韋達定理是這樣的：

　　

假設一元二次方程式ax^2 + bx + c = 0有兩根α、β，則α + β = -b/a，αβ = c/a。

　　假設一元二次方程式ax^2 + bx + c = 0有兩根α、β，則α + β = -b/a，αβ = c/a。

　　無窮遞降法則是一種反證法，臺灣高中數學不特別教無窮遞降法，因此對高中生來說，這的確是一種艱深的數學技術；但高一數學的「數學歸納法」會提到反證法，可能還是會有些「神人」懂無窮遞降法。無窮遞降法是這樣的：

　　

先假設方程式有解，並假設X為最小解；接著再從X出發，嘗試推導出另一個更小的解Y。若能推導成功，代表與前題假設「X為最小解」矛盾，因此能證明此方程式無解。

　　先假設方程式有解，並假設X為最小解；接著再從X出發，嘗試推導出另一個更小的解Y。若能推導成功，代表與前題假設「X為最小解」矛盾，因此能證明此方程式無解。

　　使用上述方法，解答「傳奇的第6題」的思維會是：

　　1. 根據題目敘述，ab + 1可以整除a^2 + b^2，所以(a^2 + b^2) / (ab + 1) 是正整數；假設該正整數為k。

　　2. 接著，假設有正整數a、b滿足 (a^2 + b^2) / (ab + 1) = k，而k不是平方數。

　　3. 最後，假設在所有滿足條件的正整數中，有一組是a1、b1，它們擁有最小的和；假設a1 = b1。

　　解題時，就可以製造一個矛盾，證明還有比a1、b1小的值，因此前一個假設「k不是平方數」也不成立。最後就可以證明「k是平方數」，(a^2 + b^2) / (ab + 1) 的值必定是某個數字的平方數。

　　我們可以開始解題了：

　　

　　根據(1)，由於k、b1、a1皆為整數，因此a2必為整數。

　　根據 (2)，由於k不是平方數，(b1)^2- k不可能是0，因此a2不可能是0。

　　根據 (a2^2 + b1^2) / (a2b1 + 1) = k，由於k、b1是正整數，因此a2不可能是負數。

　　也就是說，a2是個正整數。

　　前面，我們假設過a1 = b1，因此根據(2)，a2一定小於a1，因此a2 + b1為更小值，與「a1 + b1為最小整數解」的假設矛盾，也因此「k不是平方數」是錯誤的假設。可以證明，(a^2 + b^2) / (ab + 1) 的值必定是某個數字的平方數。

　　雖然高中生不會記得「韋達定理」這個名稱，但它是高中數學很基本的解題技巧，是小考、段考考到爛掉，學測、指考也會出現的概念。「無窮遞降法」的難度較高，但背後的原則「反證法」也是高中證明題常用到的技術。然而就是會有厲害的人，能夠用這些基本的技術，搭配巧思，解答理論數學家無法解答的難題。

　　看到這麼幹淨的思維與解題流程，真的是佩服那些奧數的參賽選手（跪了）。

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