一道數學題,初中生表示:太簡單了不就是託勒密定理,考試都不考

2020-12-04 試題小講

大家好,為大家更新一道數學幾何題目。布吉島同學們會做不。下面讓我們一起看一下這個題目。

題目給的信息很簡單。我們先按照題意畫出幾何圖形。

這道題目我們需要用到相似三角形的性質。我們要證明AC.BD=AD.BC+AB.CD。也就是證明兩對角線之積等於兩對邊之積的和。首先,

我們需要做輔助線,在對角線BD上取點E,使∠BAE=∠CAD.如下圖,就是角1和角2。

圓內同一條弦所對的圓周角相等,我們由弦AD可得∠ABE=∠ACD由上面兩組角相等的條件可得△ABE∽△ACD。所以AB/BE=AC/CD,交叉相乘可得,AB.CD=AC.BE。

又由∠BAE=∠CAD,∠EAC是公共角,所以∠BAC=∠EAD,我們再利用圓內同一條弦所對的圓周角相等,由弦AB可得∠ADE=∠ACB,由這兩組角相等可得△ADE∽△ACB。進而得到,AD/ED=AC/BC,交叉相乘得AD.BC=AC.ED。我們得到了兩組等式。

相加得

AD.CD+AD.BC=AC.BE+AC.ED=AC(BE+EED=AC.BD這樣我們就證明完了。下面寫一個完整的證明你步驟。

這就是託勒密定理。這裡的證明方法在於做輔助線找點使角相等。其他的證明方法有好多種。感興趣的可以自己證明一下。

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