「
求解問題是最為獨特的自發性思考。
Thesolutionofproblemsisthemost characteristic and peculiar sort of voluntary thinking.
——威廉·詹姆斯（WilliamJames，美國心理學家，1842-1910）
從前在網上看到北大生科院饒毅教授的一篇文章，提到他在高考時經歷的一道刻骨銘心的數學題：
1978年考數學時，有道「三角形ABC三內角成等差數列」的題目坑了我。我在複習時做過一道題，其中除了這句話，還有另一線索提示哪個是中位角，而不能假定B是中位角。考試時我絞盡腦汁尋找另一線索，當然沒找到。那時年輕, 考試因此慌了， 對其他題目也做得不順利了。這道題目，我記了一輩子，曾做夢重新考。二十年後，發現網上有全套考題，一看都好像沒見過，只認識這一道考題，不知道是誰出的，對我來說刻骨銘心。
這裡我想發揮一下饒毅教授引出的話題，跟眾愛卿分享一下寡人所了解的一些令人刻骨銘心的數學題。
瑛姑
金庸（1924年3月10日-2018年10月30日）
之所以先講瑛姑的故事，主要是想緬懷一下最近過世的金庸先生，而瑛姑是《射鵰英雄傳》中的「神算子」。
黃蓉（請注意，她老爹是東邪黃藥師）臨走時給瑛姑出的三道難題（在94版的電視劇中只提了一道，而且是改編之後的第三道，見上述連結）如下：
黃蓉氣極，正欲反唇相譏，一轉念間，扶著郭靖站起身來，用竹棒在沙地上寫了三道算題：
第一道是包括日、月、水、火、木、金、土、羅、計都的"七曜九執天竺筆算"；
第二道是"立方招兵支銀給米題"：
第三道是"鬼谷算題"："今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？"
其中第三道題最著名，涉及數論中著名的中國剩餘定理，我們曾在三篇文章中談過這個重要結果：
第二道題涉及高階等差數列的求和，我們也在兩篇文中提及：
至於第一題，我們在最近轉載的一篇文章也介紹了，見：
相信讀者已經看出，鄙人確實是金庸的忠實粉絲。實際上，我幾年前就有想法要給金庸先生寫封信，問詢他老人家何以會想到，在《射鵰英雄傳》中塑造這樣一個「神算子」形象，並借黃蓉之口道出中國古代數學的這些傑出成就，他又是何以了解到中國古代數學這些傑出成就的？後來我將這一想法轉告了香港中文大學的陳方正教授，他告訴我，金庸先生身體不好，建議我不要打擾，我就作罷了。
最近我從網上讀到一篇文章，對我的問題給出了一個指引，其中有這樣一段：
金庸年輕時在《大公報》上寫過一篇隨筆《圓周率的推算》（後來收進《三劍樓隨筆》，全文見本號二條），裡面提到一本《算學的故事》：「我在初中讀書時，教我數學的是章克標先生，他因寫小說出名，為人很是滑稽，同學們經常和他玩鬧而不大聽他講書。他曾寫過一部《算學的故事》，其中說到有一個歐洲青年花了極長的時間，把圓周率推算到小數點後六百多位。這個圓周率，當然是毫無實用價值的。」
註：章克標（1900-2007）是東京高等師範學校數學系的學生，回國後任教於中學與大學，先教數學，轉向文學後又教過語文。有興趣的讀者，可見其自傳《世紀揮手》,書名乃金庸手書。
今天我要寫的這個題目，一方面是受到饒毅教授的啟發，另一方面，其實也是受到金庸先生《天龍八部》裡的一段情節（第46節，酒後君問三語，西夏公主提問招親）的啟發，有興趣的讀者可見下述視頻，我不再展開（我覺得這本質上是一個對偶的話題：你所提出的最好的問題是什麼？）：
西夏公主（毋寧說是金庸前輩）提出三個簡單的問題：
你一生中最逍遙快活的地方在哪裡？
你生平最心愛的人是誰？
你最愛的這個人相貌如何？
讓天下群雄盡顯各自本色（最令人唏噓的喬峰的回答，不過在原著中，喬峰是先行離開從而迴避了這些問題）。好了，我們打住。我只說，這幾個問題問得很好，至於大家的回答，可以在留言區分享。
現在我們來看幾位著名人物所分享的刻骨銘心的數學題吧！
1
楊振寧（1922-）
在本號最近推出的張奠宙教授對楊振寧先生的訪談：
中， 楊振寧先生提到了他在西南聯大時，陳省身先生給他們出的一個題目：
在西南聯大，我很可能旁聽過陳省身的好幾門數學課，但是根據保存至今的成績單，我只是在1940年秋季學期正式選修過他講授的微分幾何課程。當時我是物理系的三年級學生。
張：這門課您有所得益吧?
楊：當然。不過我已經記不清楚上課的情形了，只有一件事印象很深：如何證明每一個二維曲面保角等價於平面?我知道如何把度量張量化成
的形式，但是想了很久都想不出怎樣使A=B。有一天，陳先生告訴我要用復變量，並寫下：
這個式子。學到這簡單的妙訣，是我畢生難忘的經歷。
最近我從西北大學劉建新博士的博士論文中得知，原來，這結果和技巧都歸功於高斯(Gauss)。這個題目我們不再展開（若有需要，留言區討論），我想重點在於，楊先生想說，陳先生令他認識到複數的重要性。陳省身先生常說的一句話是，複數使數學簡單化（一個最顯著的例子是代數基本定理：多項式在複數域內必有零點）。我想下面這本書（一本複分析的研究生教材）的標題很能夠表達這個意思：
關於做學問的經驗之談，楊先生寫過一篇優美的文章，值得推薦給各位讀者：
楊振寧，我的學習與研究經歷，《物理》，2012年
2
徐利治（1920-）
當今之中國，資歷最老的數學家恐怕要屬徐利治先生了，他1920年出生，很快就要100歲了。我們曾經在本號推送過他的文章
在追憶我的大學老師華羅庚先生一文中，徐利治曾回憶起他與華羅庚先生對初等數論中一個定理之證明的討論，從中可以看出，學生時代的徐利治前輩頭腦之活躍（用今天的話來說，就是「腦洞大開」）。
在湖南教育出版社出版的《徐利治訪談錄》（袁向東，郭金海訪談整理）中，他也分享了他在西南聯大求學時請教陳省身先生的一道題目（見上書73-74頁）：
我在西南聯大二年級的時候，有一次到數學系辦公室請教陳先生先生一個級數求和問題。這個問題是：
如何計算？
陳先生看了很久，沒有回答出來。後來我才知道，這個求和問題沒有精確的公式表達，但可以用歐拉-麥克勞林求和公式（Euler–Maclaurin formula）做近似計算。可見，當時陳先生的分析基礎也不是十分強。
這裡徐利治先生分享了他的後見之明：這個和是求不出來的——其結果沒有一個簡單的公式表達。那麼能做的，只是近似求和，即，求出這個和的一個近似值。換言之，我們所能解決的，是下述問題（請注意，這裡改變了問題的提法，唯有如此，方才可解）：
問題0：求
的近似值。
徐利治先生建議的方法是用歐拉-麥克勞林求和（留給有興趣的讀者），下面我們介紹一個更簡單的方法（取自一本教材Mathematics for Computer Science，是MIT同名課程的教材，可在MIT公開課網站免費下載）。為求出這個近似值，我們需要下述結果（提請讀者注意，這裡基本的想法是，求和是積分的離散版本，求和與積分互為很好的近似。）：
註：如果你學過微積分，也許會想起正項級數的積分判別法，它依賴於上述定理的另一半，此處從略。
好了，現在我們來解決問題0。
據此定理，為估計求和
只需求出積分
上面將問題重新提出的變通策略，正好印證了大數學家阿貝爾(Abel）的高見：
人們應該力求給問題一種形式，使得它總是可解的，這總是可能的。以恰當選擇的形式提出問題，其敘述本身就會包含著解答的種子。
3
何兆武（1921-）
我還想到西南聯大的另一位傑出校友，他叫何兆武，著名的歷史學家。在《上學記》（何兆武口述，文靖執筆）一書（90-91頁）中，他曾回憶起他參加的1939年的西南聯大高考所遇到的一道數學題：
那一年數學考題非常之難，也不知道是誰出的，比我們中學所學的更深。其中有一個題目我還記得，在橢圓上任取一個點，問：把這個點到橢圓上每個點連線的中點連接起來，是什麼圖形，並列出方程。我知道連起來是一個內切小橢圓，給描出來了，可是列不出公式。有個同學數學學得非常好，考完了以後跟我講，這道題不能用正坐標（即直角坐標）表述，得用極坐標。經他一說我就想起來了，所以印象特別深。另外，這件事也給了我極大的啟發，一個終生受益的啟發：當我們的思想解釋不通的時候，就得換一個坐標，不能死硬地按原來的模式去套。
我想，歷史中真正學術上、思想上的重大突破，大概都需要坐標的轉換。有些用原來的坐標解釋不了了，卻仍在那裡生搬硬套，是行不通的。比如，……
The greatest discovery of my generation is that a human being can alter his life by altering his attitudes.【看來不僅學術如此，人生也是如此，也需要換坐標（觀點）】
本人嘗試了一下，感覺這個問題用直角坐標也很簡單。不過，我對何兆武先生最後的領會（換坐標）深有共鳴。我還發現，《大話西遊》裡頭也有個經典的坐標變換（遺憾的是，春三十娘的扮演者藍潔瑛最近去世了）：
我們也曾指出，江湖上有些算命術士很會利用坐標，見
順便說一句， 第一節裡陳省身先生出給楊振寧的那個題目，其實就是證明曲面上存在等溫坐標（一種方便的坐標）。
4
阿諾德（V. I. Arnold，1937-)
跟俄國的許多數學大師（如柯爾莫果洛夫、蓋爾範德）一樣，阿諾德(1937-2010)不僅是卓有成就的數學家，也是極優秀的數學教育家。他曾寫過一本書：
其中收入了為5-15歲的孩子準備的77個數學問題，從維基百科Vladimir Arnold條目可以搜到這本書的電子版（可免費下載）。有興趣的讀者，也可以參見和樂數學推送的介紹先一睹為快：
阿諾德在1991年的Notices訪談中曾提及兒時一次有趣的數學經歷：
很多俄羅斯家庭都有給孩子出諸如此類的各種問題的傳統，我的父母也不例外。不過我第一次真正的數學經歷是在小學，當時我們的教師I. V. Morozkin向我們提出以下問題：甲乙兩個老太太在日出時同時出發，甲從A地往B地走，乙從B地往A地走，都是勻速前進。她們在正午相遇，然後繼續不停地走，如果甲到達B地的時間是下午四點，而乙到達A地的時間是下午九點。請問，當天日出的時間是幾點？
請允許我將這個題目（收入第5題到Arnold的書中）重新提取成下述形式：
問題1（俠客行）：甲、乙兩個俠客約定在某一天上午的某個時間同時出發，甲從 A 地往 B 地走，乙從 B 地往 A 地走，都是馬不停蹄勻速前進。他們恰好在當天正午相遇，抱拳問候之後立即揮手告別（俠客行，片刻也不耽誤，所謂「君子不下馬，各自奔前程」是也），繼續不停地走，如果甲達到 B 地的時間是下午 4 點，而乙到達 A 地的時間是下午 9 點。請問，他們約定的出發時間是幾時？
阿諾德說：
當時我花了一整天的時間來思考這個老掉牙的問題，而答案則是一種出乎意料的方式得到的。
在高等教育出版社「數學概覽」叢書第5號作品《惠更斯與巴羅，牛頓與胡克》一書中，阿諾德提出過一個有趣的問題，也許可以考考各位學過微積分的朋友（下文引自中譯本）：
下面這例問題，是像巴羅、牛頓和惠更斯這樣一些人在幾分鐘內就能解決的，而在我看來，當今的數學家（我所知的唯一例外是法爾廷斯）還不能很快就求解出來：
問題2（求極限）：計算
朋友，如果算不出來也沒有關係，畢竟你不必勝過法爾廷斯——要知道他可是1986年的菲爾茲獎得主；同時我也實話實說，我沒算出來（但我有朋友很快就算出來，並點評說：「這是文中我印象最深的一段，也算是高數老師在計算機時代的最後的尊嚴。」）。有沒有感覺我這個高數老師被打臉了？沒關係哦，我早已習慣了這種常態：
來，我們聽個歌放鬆一下，有請從臺灣大學數學系轉向歌壇的周華健同學，為大家帶來一曲《難念的經》（《天龍八部》主題曲，林夕作詞，周華健作曲）
怎麼樣？心情好多了吧。早跟你說過了：
5
幾個補充的練習
《射鵰英雄傳》之東邪西毒 劇照；注意，這是西毒歐陽鋒，而不是東邪黃藥師，後者大概是金庸武俠小說中數學最好的（新加坡國立大學數學系的曾衡發教授首先向我提及這一點）。
問題3（小學水平：阿諾德+加州大學伯克利分校數學系伍鴻熙教授提供）：
有一杯紅酒和一壺茶水，先從茶水中盛一勺倒入紅酒中，均勻攪拌後再盛一勺倒回茶水中。請問此時杯中含有的茶水和壺中含有的紅酒，哪個更多？如果沒有攪拌均勻，情況又會怎樣？
【有興趣的讀者，可以參考伍鴻熙教授《數學家講解小學數學》第23章「一些有趣的應用題」 問題4，中譯本（趙潔、林開亮譯，北京大學出版社）第316頁】
問題4（小學-初中水平：西北大學數學系劉建新博士提供）：
如圖，從A到B有兩條路線。綠色路線由一條豎直方向的線段和一條水平方向的線段組成；紅色路線是階梯狀的，每段線段分別是水平和豎直的。問兩條路線哪個更近？
問題5（初中水平：本人初三經歷，曾作為思考題在課堂上出給大一新生）：
在下述矩形中，已知三個角上的三角形的面積分別為3，4，5，求中間的三角形的面積。
問題6（高中水平：西北農林科技大學物理系劉昌勇教授提供，是上世紀30-40年代的一道高考題）：
已知為方程式
的一根，求其餘各個根。
問題7（大學水平：美國加州大學爾灣分校數學系陸志勤教授提供）：
證明：在n維歐氏空間中，兩兩夾角為鈍角的向量至多有 n+1 個.
問題8(小學、初中、高中、大學水平：本人提供，曾作為離散數學作業留給計算機專業大二學生，取自當時我參考的一本教材，Mathematics for Computer Science，是MIT同名課程的教材，可以在MIT公開課網站免費下載）：
Here is a game you can analyze with number theory and always beat me. We start with two distinct, positive integers written on a blackboard. Call them a and b. Now we take turns. (I'll let you decide who goes first. ) On each turn, the player must write a new positive integer on the board that is the difference of two numbers that are already there. If a player cannot play, then s/he lose.
For example, suppose that 12 and 15 are on the board initially. Your first play must be 3, which is 15-12. Then I might play 9, which is 12-3. Then you might play 6, which is 15-9. Then I cant play, so I lose.
(a) Show that every number on the board at the end of the game is a multiple of gcd(a,b). 【註： gcd(a,b) 表示 a, b 的最大公因子】
(b)Show that every positive multiple of gcd(a, b) up to max(a, b) is on the board at the end of the game.【註： max(a,b) 表示 a, b 中最大的那一個數】
(c) Describe a strategy that lets you win this game every time.
【這道題目英文很簡單，我就不翻譯了——原諒我這一生放蕩不羈愛自由】
問題9（大學水平，本人經歷，至今都還不知道怎麼做，所以刻骨銘心。借這個機會向大家徵解，請方家賜教）：
(Taussky) 在平面上給定n條處於一般位置（這裡理解為，任意三條直線都不共點）的直線。證明：在由這些直線構成的C_n^3個三角形的內切圓中，有且僅有一個圓與其餘n-3條直線相交或相切。證明，存在一點，它到諸直線的距離不大於任何別的點到這些直線的距離之最大者。【引自《函數構造論引論》，J. 託德著，第29頁，問題3.26，Taussky恰好是作者的夫人】
問題10（大學水平，不久前準備一個科普報告時遇到，是劍橋大學本科生榮譽學位考試的題目，我也不會，一併求教方家）：
如圖，證明人在深水中平穩遊泳時激起的波浪其夾角總是2arcsin(1/3)。
該題是橋大學數學系本科生主頁（https://www.maths.cam.ac.uk/undergrad）上的一個Tripos考題，也參見
6
結語
我是一名數學教師，是波利亞(Pólya）的忠實粉絲，他的《怎樣解題》、《數學的發現——對解題的理解、研究和講授》以及《數學與猜想》（兩卷）深深影響了我。我希望，我在這裡搜集的這些故事（或素材），不僅能得到讀者的喜愛，也能得到他老人家（已經含笑九泉，1887-1985）的認同。
我最先想到的是：走二維迷宮(在像二維碼一樣的方塊區域開一個入口、一個出口，要在裡面從入口走到出口那種)的通用解法：從入口摸著一側的牆壁一直走下去就能出去了。照我的理解，迷宮的解就是找一條線把兩個彼此不連通的區域分開，那麼沿著一個連通區域的邊界轉一圈就行了。從拓撲的角度看，迷宮就不迷了。
好了，我要說的說完了，輪到你們啦。
致謝：感謝西北農林科技大學尹昌輝同學、姚健同學、聶嘉玥同學提供技術支持！感謝天津大學物理系劉雲朋教授、數學系劉志新教授、西北農林科技大學物理系劉昌勇教授、上海交通大學數學系吳耀琨教授、李吉有教授、中央民族大學數學系王兢教授、中國傳媒大學陳見柯教授、西北大學數學系劉建新博士、以及友人張寶群博士的分享交流。
好玩的數學
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