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根據代數基本定理，每個多項式在其定義域內的某個點上都有一個根。雖然這個定理早在18世紀初就已經被提出（由三位數學家，彼得·羅斯，艾伯特·吉拉爾和勒內·笛卡爾提出），但是第一個（非嚴格的）證明是在1746年由法國博學家讓·勒朗·達朗貝爾在他的著作《關於卡爾庫爾積分的研究》中發表的。該定理第一個嚴格證明的作者是卡爾·弗裡德裡克·高斯，他是歷史上最傑出的數學家之一。
圖1：法國博學家讓·勒朗·達朗貝爾和德國著名數學家卡爾·弗裡德裡克·高斯。
讓我們先討論一些將在證明中使用的相關概念。
複數
複數z是具有以下形式的數：
方程1：複數的定義。其中x和y是z的實部和虛部。i是虛數單位，它是二次方程的解：
方程2：虛數單位i是這個二次方程的解16世紀著名的義大利數學家卡爾達諾（他同時還是一名醫生、生物學家、物理學家、化學家、哲學家等）在他的三次方程的根研究中引入了複數。
圖2：左邊的圖顯示了一個複數的示例。右邊是傑羅拉莫·卡爾達諾。通過複數平面，我們可以用幾何形式表示複數。橫軸包含實數，縱軸包含虛數。下圖顯示了複平面中的想像單元i。這個圓叫做單位圓。
圖3：複平面上的單位圓。換句話說，利用複平面，我們可以用幾何來解釋複數。例如，在加法下，它們表現為向量：
圖4：在加法下，複數表現為向量。為了更好地表達複數乘法，用極坐標代替笛卡爾坐標更方便。
式3：極坐標(r, θ)表示的複數z。這裡我們用：
公式4：公式3中使用的定義。第三個是著名的歐拉公式，作為特例。著名的歐拉恆等式顯示了數學中最基本的數之間的深刻聯繫。利用公式3，可以將複數相乘寫成如下形式：
方程5：極坐標下兩個複數相乘(r, θ)象徵性地我們有：
公式6：上述兩種觀察結果用符號表示。多項式和根
根據維基百科，「多項式f是一個由變量和係數組成的表達式，它只涉及加、減、乘運算，以及變量的非負整數指數。如果f(x) = 0，則x是該多項式的根。
一個實數多項式方程的例子如圖5所示。
圖5：一個多項式的例子的繪圖。為了繪製具有複雜參數的多項式的圖，我們遇到了一個問題：複數是2D的，因此定義在複數上的複數值函數的圖將是4D。一種可能的解決方案是使用顏色來表示尺寸。這裡的想法是這樣的（見圖6a）。選擇原點為黑色，然後繞著它逆時針旋轉，通過色輪的顏色（紅、黃、綠、青色、藍、品紅，然後回到紅色）。當z接近原點時，指定的顏色z接近黑色。相比之下，當|z|→∞時，其顏色趨於白色。注意，每個z都有一個不同的顏色，因此它的顏色唯一地指定了它。我們在圖6b中繪製一個函數f: C→C的圖，我們用與f(z)的值相關聯的顏色對每個點z∈C著色。因此，通過確定點z的顏色，再與圖6a比較，可以得到任意點z的f(z)，然後用顏色表示哪個複數。這種技術叫做區域著色。
圖6a：複雜的平原(左)。圖6b(右)：f(z)的域著色坐標。代數基本定理(FTA)
代數基本定理指出，每一個多項式p(z)都有一個復根。下面由數學家林賽·蔡爾茲證明。它是基於瑞士業餘數學家讓-羅伯特·阿根德在他1814年發表的著作《關於新理論分析的反身性》中給出的結論。
圖7：業餘數學家讓-羅伯特·阿根德證明
更正式地說，我們的目標是證明對於任何具有復係數的多項式p(z)
方程7：復係數的多項式p(z)。有一個複數 ∈ (其中c是複數的集合)使p（C ^）= 0，或：
方程8：總有一個複數c，使得對於任何多項式p(z)，p(c)=0。為了證明FTA我們需要以下輔助結果：如果K→R是連續的，那麼f (x, y)上有一個最小值和最大值。
圖8：極值定理的一維版本。實際上，FTA依賴於兩個更簡單的引理，為了避免混亂，將省略這些引理。
現在考慮定義集合K：
方程9：集合K
圖9：方程9中定義的集合K。符號|，|代表複數的絕對值
方程10：複數z絕對值的定義。因為K是連續的函數
方程11：這個函數在K內有一個最小值。如果R足夠大，我們有:
公式12：如果R足夠大，對於K中任意z， |p(z)|大於或等於|p(c)|。
圖10：如果R足夠大，則遵循方程13。現在，上述不等式等於：
式13：如果c是K的最小值，則得到該不等式對所有複平面都有效。注意，這個不等式不僅在某些圓盤內，而且在所有的複平面C上都是有效的。
下一步是假設p(c)≠0，定義如下函數：
式14：h(z)的定義。並證明存在一個複數u，使得|h(u)|<1或者等價地：
方程15：這個條件與方程12和方程13相矛盾。函數h的形式為：
式16：公式14中h(z)的形式，其中g(z)為多項式。其中g(z)為連續多項式。然後定義d：
方程17：選擇參數d。然後我們寫出h(td)對於t∈(0,1)。我們得到：
式18：t∈(0,1)三角不等式告訴我們：
式19：將三角不等式應用於式18。對於足夠小的t，由於多項式g是連續的，我們得到：
公式20：當t足夠小時，公式19的結果。這個結果與我們在式12和13中的假設相矛盾。這就是證明！