關於代數數cos(qπ)的次數— 2020年阿里巴巴全球數學競賽決賽某題

2021-02-19 數學之藝術

其實對於很多題目，我連理解起來都有困難，大多數都是剛剛好能領會題目意思，但是還是有一些簡單的.那麼來簡單聊聊本題思考的一些歷程，其實當得到(5)的時候，很自然就猜測分母上的餘弦值必然要是有理數，這樣就更簡單了，即它是一次代數數，phi(k)不超過2，能省去不少麻煩，然而我沒找到充分的理由，最終還是妥協了它是至多2次的代數數，可能那些整數的配置決定了它不可能是二次代數數吧，或許可以通過一些方法直接肯定這一點，又或許，這題從根本上便有更好的方法我沒有想到的？

但不管怎麼樣，這個引理還是很有意義的，其實它的證明並不困難，只要建立了縮系，分圓多項式，本原根的觀念，可以說它根本是顯然的.

另外，文後P.S.中提到的關於(a+b)和ab的多項式，從根本上說，其實是對稱多項式基本定理的一種特殊情況.

總的來說，這題並不難，只是運算上需要細心一些吧.最後字數還是不夠，那麼，就放一個蓋爾方得-施耐德定理吧：假設a,b是非零代數數，對於確定的對數函數分支logz，若loga,logb在有理數域上線性無關，則他倆在代數數域上還是線性無關.由此，對於任意不等於0,1的代數數a而言，若g是代數無理數，則a^g是超越數.

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