「數的分類科普」實數集的一個特殊子集:代數數集

代數數定義

代數數是指任意整係數多項式的復根

所有代數數的集合構成一個數域，稱為代數數域

不是代數數的實數稱為超越數，如π、e

現代數學上關於代數數有幾個等價定義

①任意整係數代數方程的根x則叫做「代數數」

②任意有理係數多項式的復根x則叫做「代數數」

③整係數多項式的復根」x則叫做「代數數」

代數數舉例

例1：√3是一個實代數數，它滿足方程x^2-3=0

例2：全體有理數和i

例3：複數a+bi (i是虛數單位，a、b是代數實數)是代數數

例4：高斯整數都是代數數，即形如a+bi的複數，其中a和b都是整數

例5：當a是有理數時，sin aπ、cos aπ、tan aπ、eaπi等都是代數數

例6：所有規矩數（即可從已知長度的線段出發，通過尺規作圖作出的線段長度數值）都是代數數

例7：α^β(其中α、β)均為有理數

常見非代數數的實數

①自然對數底數e和圓周率π均是超越數。

②歐拉常數常數ε= 0.577215 ... = lim n -> (1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ... + 1/n - ln(n))

③ln(2)、e^π、π^e、2(√2)、i^i 等

④cos(x)=x的根，x=0.739085…

⑤其他常見的超越函數、超越方程運算結果，一般都不是代數數

代數數常用性質

①代數數在有理數下的「+」、「-」、「x」、「÷」、乘方、開方運算中是封閉的，構成一個數域，稱為代數數域

注意：代數數在實數下乘方和開方的運算中不是封閉的，例如2^(√2)，即2的根號2次方不是代數數，它是一個超越數

②以代數數作為係數的有限次多項式的根也是代數數

③當a為一個非有理數的代數數時，sin a、cos a、tan a、e^a都是超越數

④當a為一個大於0且不等於1的代數數時，ln a是超越數，以及logb(a)

⑤代數數域是含有有理數域的最小的代數封閉域，稱為有理數域的代數閉包。

代數整數

代數整數是任何首一整係數多項式的根，代數整數是代數數的一部分，但代數數不全是代數整數。

所有整數都是代數整數，其餘的有理數則不是代數整數。代數整數的集合記作A，是代數數的子集。

舉例n、n的整次數方根是代數整數，整數也被稱作有理整數。

兩個代數整數的和、差與積也是代數整數，這就是說，具備整數的加法、乘法運算的代數整數集合構成了一個環，因此A代數中也被稱為代數整數環。

代數數域與實數域關係

代數數域包含了有理數域，但代數數域並不包含全部實數。

代數數域是一個可數集，即所有代數數能與全體自然數建立一一對應，而實數集是不可數的無窮集，一定存在不是代數數的實數。

已有證明 π和e不是代數數，但不是所有的無理數都不是代數數，不是代數數的數稱為超越數

實數域既可按有理數和無理數劃分為兩類，也可按實代數數和實超越數分為兩類。